球体内の点のポテンシャル
太陽は質点と考えてよいか$では太陽(球体)の万有引力による外部の点におけるポテンシャルを考えたが、$
$ここでは、内部の点のポテンシャルを考えてみましょう。$
$球体の半径を \ R\ とし、球体内の点 \ P\ の位置を球面極座標を用いて \quad P(r,\ \theta , \ \varphi) \ \ と表す。$
$\qquad ただし、0 \leqq r \leqq R,\quad 0 \leqq \theta \leqq \pi , \quad 0 \leqq \varphi \leqq 2\pi $
$点 \ P\ から、dr,\ d\theta ,\ d\varphi \ \ 増加させた領域の微小体積 \ dV\ は$
$\qquad dV=r^2\sin \theta \ dr\ d\theta \ d\varphi $
$球体は球対称であると考えると質量分布(密度)は中心からの距離 \ r\ の関数として$
$あらわされるから、それを \ \rho (r) \ \ とおく。この微小領域の質量は$
$\qquad dM=\rho(r)dV=r^2\rho(r)\sin \theta \ dr\ d\theta \ d\varphi $
$下図のように、球体内の任意の点を \ P,\ z\ 軸上で中心 \ O\ から \ q\ 離れた位置に質量 \ m\ の質点 \ Q\ をおく。$
$ただし \quad R \geqq q \ \ である。$
$\hspace{7em} 0 < r \leqq q \ \ のとき \hspace{15em} q \leqq r \leqq R \ \ のとき$
$PQ=d \ \ として、△OPQに余弦定理を用いると$
$\qquad d^2=q^2+r^2-2qr\cos \theta $
$点Pを含む微小領域のポテンシャルは$
\begin{eqnarray*} dU&=&-G\ dM\ m\ \cfrac{1}{d}\\ &=&-Gr^2\rho(r)\sin \theta \ dr\ d\theta \ d\varphi \ m\ \cfrac{1}{d}\\ &=&-Gm\cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}dr\ d\theta \ d\varphi \\ \end{eqnarray*}
$rの積分範囲を点Pの内部と外部に分けて考えると、球体全体のポテンシャルは$
\[U=-Gm\int _0 ^q dr \int _0 ^\pi d\theta \int _0 ^{2\pi}d\varphi \cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}} -Gm\int _q ^R dr \int _0 ^\pi d\theta \int _0 ^{2\pi}d\varphi \cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}} \] \[ここで、 \int _0 ^{2\pi}d\varphi =2\pi だから\] \[U=-2\pi Gm\int _0 ^q \int _0 ^\pi \cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}dr\ d\theta -2\pi Gm\int _q ^R \int _0 ^\pi \cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}dr\ d\theta \] \[\quad \int _0 ^\pi \cfrac{\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}d\theta =\cfrac{1}{qr}\{(q+r)-|q-r|\} \quad より\]
$\quad (この積分については($太陽は質点と考えてよいか$)をみてください)$
\begin{eqnarray*} U &=&-2\pi Gm \int _0 ^q r^2\rho(r) \times \cfrac{2}{q}dr -2\pi Gm\int _q ^R r^2\rho(r) \times \cfrac{2}{r}dr \\ \\ &=&-Gm\big\{\int _0 ^q \cfrac{4\pi r^2 \rho(r)}{q} dr + \int _q ^R 4\pi r \rho(r) dr\big\}\\ \end{eqnarray*} $\rho(r)がわからないとこれ以上積分が進まないので、\rho(r)=\rho(一定)とすると \quad \rho=\cfrac{M}{\dfrac{4}{3}\pi R^3}=\cfrac{3M}{4\pi R^3} $
\begin{eqnarray*} U &=&-Gm\big\{\cfrac{3M}{qR^3}\int _0 ^q r^2 dr + \cfrac{3M}{R^3}\int _q ^R r dr\big\}\\ \\ &=&-GMm\big\{\cfrac{3}{qR^3} \times \cfrac{q^3}{3} + \cfrac{3}{R^3}(\cfrac{R^2}{2}-\cfrac{q^2}{2})\big\}\\ \\ &=&-\cfrac{GMm}{R}\big(\cfrac{3}{2} -\cfrac{q^2}{2R^2}\big)\\ \end{eqnarray*}
$これが、質量分布が一様な球体の内部の点のポテンシャルで、q\ の \ 2\ 次関数であることがわかります。$
$(補充)$
$この球体内に中心を通る直線のトンネルを掘ったとすると$
$\qquad F=-\cfrac{\partial U}{\partial q}=-\cfrac{GMm}{R^3}q$
$中心からの距離 \ q\ に比例する中心に向かう力が働くから、質点 \ Q\ は単振動することになります。$
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