太陽は質点と考えてよいか


0　はじめに


$太陽と惑星の間に作用する万有引力は、十分な大きさがあるにもかかわらず、質点という扱いをする。$
$太陽の質量が１点に集中していると考えることは、ブラックホールでもあるまいし困惑する。$
$しかし、高校以来深く考えることもなくそういうものだと頭に浸み込んでいた。$
$そこで、本当に質点でよいのか考えてみましょう。$

1　万有引力のポテンシャル


$太陽と惑星の間に働く引力 \ F\ は中心に向かう中心力であり、その大きさは２つの中心間の距離 \ r\ のみの$
$関数であるから、万有引力は保存力である。保存力にはポテンシャルが定義される。$

$一般にポテンシャル \ U(r)\ は$
\[\qquad U(r)=-\int _{r{_0}} ^r F(r)dr \hspace{15em}(1)\] $で定義される。ただし、r_0 \ は基準点である。$

$質量 \ M\ の太陽の中心 \ O\ から \ r\ 離れた位置に質量 \ m\ の惑星(質点) \ Q\ をおく。$

$万有引力は \ \ F(r)=-G\cfrac{Mm}{r^2}\ \ だから、万有引力のポテンシャルは$
\[\qquad U(r)=\int _{r{_0}} ^r G\cfrac{Mm}{r^2} =-GMm \Bigl[\ \cfrac{1}{r}\ \Bigr] _{r{_0}} ^r =-GMm \big(\cfrac{1}{r} -\cfrac{1}{r_0}\big)\] $基準点を無限遠方でとると、r_0 \rightarrow +\infty 　として$

$\qquad U(r)=-G \cfrac{Mm}{r} \hspace{17em}(2)$

$これが、万有引力ポテンシャルです。力はベクトルですが、ポテンシャルはスカラーです。$


2　大きさを考慮した太陽のポテンシャル

　

$太陽の半径を \ R\ とし、太陽内の点 \ P\ の位置を球面極座標を$
$用いて \quad P(r,\ \theta , \ \varphi) \ \ と表す。$

$ただし、0 \leqq r \leqq R,\quad 0 \leqq \theta \leqq \pi , \quad 0 \leqq \varphi \leqq 2\pi $

$点 \ P\ から、dr,\ d\theta ,\ d\varphi \ \ 増加させた領域の微小体積 \ dV\ は$

$\qquad dV=r^2\sin \theta \ dr\ d\theta \ d\varphi $

$太陽の密度は一様ではないが、球対称であると考えると$
$密度は中心からの距離 \ r\ の関数としてあらわされるから、$
$それを \ \rho (r) \ \ とおく。$

$この微小領域の質量は$

$\qquad dM=\rho(r)dV=r^2\rho(r)\sin \theta \ dr\ d\theta \ d\varphi $

　

$右図のように、太陽内の任意の点を \ P,\ z\ 軸上で$
$中心 \ O\ からの距離が \ q\ の点を \ Q\ とする。$
$ただし \quad R < q \ \ である。$

$PQ=d \ \ として、△OPQに余弦定理を用いると$

$\qquad d^2=q^2+r^2-2qr\cos \theta $

$点Pを含む微小領域のポテンシャルは(2)より$
\begin{eqnarray*} dU&=&-G\ dM\ m\ \cfrac{1}{d}\\ &=&-Gr^2\rho(r)\sin \theta \ dr\ d\theta \ d\varphi \ m\ \cfrac{1}{d}\\ &=&-Gm\cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}dr\ d\theta \ d\varphi \\ \end{eqnarray*} $したがって、球体全体のポテンシャルは$
\[U=-Gm\int _0 ^R dr \int _0 ^\pi d\theta \int _0 ^{2\pi}d\varphi \cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}\] \[ここで、 \int _0 ^{2\pi}d\varphi =2\pi 　だから\] \[U=-2\pi Gm\int _0 ^R \int _0 ^\pi \cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}dr\ d\theta \] $\theta の積分については次の公式が成りたつ。$

\[\quad \int _0 ^\pi \cfrac{\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}d\theta =\cfrac{1}{qr}\{(q+r)-|q-r|\}\]

$(証明)$

$\cfrac{d}{d\theta}\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta} =\cfrac{qr\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}} 　に注意して\ \theta \ の積分をとると$
\begin{eqnarray*} & &\int _0 ^\pi \cfrac{\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}d\theta\\ &=&\cfrac{1}{qr}\Bigl[\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta }\Bigr] _0 ^\pi\\ &=&\cfrac{1}{qr}\big(\sqrt{q^2+r^2+2qr}-\sqrt{q^2+r^2-2qr}\big)\\ &=&\cfrac{1}{qr}\big(\sqrt{(q +r)^2}-\sqrt{(q-r)^2}\big)\\ &=&\cfrac{1}{qr}\big((q+r)-|q-r|\big)\\ \end{eqnarray*}

\[r < q \quad だから \quad \int _0 ^\pi \cfrac{\sin \theta }{\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos \theta}}d\theta =\cfrac{1}{qr} \times 2r=\cfrac{2}{q}\] \[\therefore \ \ U=-G \cfrac{m}{q} \int _0 ^R 4\pi r^2\rho(r)dr\] \[\quad \int _0 ^R 4\pi r^2\rho(r)dr =M \ \ であるから　(この積分は、厚さ \ dr\ の球殻を集めたもの)\] $U=-G\cfrac{Mm}{q} \quad となって、太陽を質点とみ なしたときのポテンシャルに一致します。$

$上で、惑星 \ Q\ を質点とおいたが、これも大きさがあるはずです。$
$しかし、太陽を質点と考えた同様の議論で惑星Qを質点としたポテンシャルに一致することがわかります。$



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