マチンの公式による円周率の計算方法
$\tan^{-1} x$ の原点のまわりのテーラー展開 \[ \tan^{-1} x = x - \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5}- \cfrac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{m=0}^{\infty} \cfrac{{(-1)}^m}{2m+1}x^{2m+1} \hspace{16em}\] $において x=1 を代入すると \ \tan^{-1} =\cfrac{\pi}{4} だから$
\[\cfrac{\pi}{4} = 1 - \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{5}- \cfrac{1}{7} + \cdots \hspace{28em}\] 右辺の計算は収束が遅く、これを用いて $\pi$ の値を求めるのは賢くない。
そこで
$\hspace{2em} - \cfrac{\pi}{2} < \alpha , \quad \beta , \quad \alpha + \beta < \cfrac{\pi}{2} として \tan \alpha = a , \ \tan \beta = b とおくと$
$\hspace{2em} \tan (\alpha + \beta ) = \cfrac{\tan \alpha + \tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta} = \cfrac{a + b }{1-ab}$
だから
$\hspace{2em} \alpha = \tan^{-1} a , \quad \beta = \tan^{-1} b , \quad \alpha + \beta = \tan^{-1} \cfrac{a + b }{1-ab} $
よって
$\hspace{2em} \tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} {\cfrac{a + b }{1-ab}} \hspace{4em} (1)$
$a = b とおくと$
$\hspace{2em} 2 \tan^{-1} a = \tan^{-1} {\cfrac{2 a }{1-a^2}} \hspace{8em} (2)$
とくに、 $a = b = \cfrac{1}{5}$ とおくと
$\hspace{2em} 2 \tan^{-1}{\cfrac{1}{5}} = \tan^{-1}{\cfrac{\cfrac{2}{5}}{1-\big(\cfrac{1}{5}\big)^2}}= \tan^{-1}{\cfrac{5}{12}}$
両辺を２倍して（2）を使うと
$\hspace{2em} 4 \tan^{-1}{\cfrac{1}{5}} = 2 \tan^{-1}{\cfrac{5}{12}}= \tan^{-1}{\cfrac{2 ×\cfrac{5}{12}}{1-\big(\cfrac{5}{12}\big)^2}} = \tan^{-1}{\cfrac{120}{119}}$
両辺から $\tan^{-1}{\cfrac{1}{239}}$ を引くと
$\hspace{2em} 4 \tan^{-1}{\cfrac{1}{5}} - \tan^{-1}{\cfrac{1}{239}} = \tan^{-1}{\cfrac{120}{119}}- \tan^{-1}{\cfrac{1}{239}}$
(1)を使って
\begin{eqnarray*} 右辺 &=&\tan^{-1}{\cfrac{\cfrac{120}{119} - \cfrac{1}{239}}{1+ \cfrac{120}{119} \times \cfrac{1}{239}}} \hspace{30em}\\ &=&\tan^{-1}{\cfrac{239 \times 120 - 119}{ 119 \times 239 + 120}}\\ &=&\tan^{-1}1\\ &=&\cfrac{\pi}{4}\\ \end{eqnarray*} よって
$\hspace{2em} \cfrac{\pi}{4} = 4 \tan^{-1}{\cfrac{1}{5}} - \tan^{-1}{\cfrac{1}{239}} \hspace{3em} (『マチンの公式』といいます)$
右辺をテーラー展開して
$\hspace{2em} \cfrac{\pi}{4} = 4 \{ \cfrac{1}{5} - \cfrac{1}{3}\big(\cfrac{1}{5}\big)^3 + \cfrac{1}{5}\big(\cfrac{1}{5}\big)^5 - \cfrac{1}{7}\big(\cfrac{1}{5}\big)^7 + \cdots \} $
$\hspace{6em} - \{\cfrac{1}{239} - \cfrac{1}{3}\big(\cfrac{1}{239}\big)^3 + \cfrac{1}{5}\big(\cfrac{1}{239}\big)^5 - \cfrac{1}{7}\big(\cfrac{1}{239}\big)^7 + \cdots \}$
この公式は収束が速いので $\pi$ の値を求めるのによく使われたようです。
私も1985年にＰＣ９８０１なる名機をつかってBASICでプログラミングして求めました。
1200桁求めるのに１時間３分かかった記録が残っています。
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