7 ガウスの公式
ここで、やっと あの定理７の(ルジャンドルの関係式)
$\hspace{2em} 2K(\cfrac{1}{\sqrt{2}})E(\cfrac{1}{\sqrt{2}})-K(\cfrac{1}{\sqrt{2}})^2=\cfrac{\pi}{2} $
にもどれます。
$\hspace{1em} 定理10 K(k)=aI(a,b)$
$\hspace{1em} 定理13 E(k)=\cfrac{1}{a}J(a,b)$
$で \ \ a=1,\ b=\cfrac{1}{\sqrt{2}} とすると k=\sqrt{1-(\cfrac{1}{\sqrt{2}})^2}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ だから
$\hspace{2em} K(\cfrac{1}{\sqrt{2}})=I(1,\cfrac{1}{\sqrt{2}})$
\begin{eqnarray*} E(\cfrac{1}{\sqrt{2}}) &=&J(1,\cfrac{1}{\sqrt{2}}) \hspace{41em}\\ &=&\big(1^2-\sum_{n=0}^{\infty}2^{n-1}c_n^2 \big)I(1,\cfrac{1}{\sqrt{2}})\\ &=&\big(1-\sum_{n=0}^{\infty}2^{n-1}c_n^2 \big)K(\cfrac{1}{\sqrt{2}})\\ \end{eqnarray*}
これを、ルジャンドルの関係式に代入して
\[\quad 2\big(1-\sum_{n=0}^{\infty}2^{n-1}c_n^2 \big)K(\cfrac{1}{\sqrt{2}})^2-K(\cfrac{1}{\sqrt{2}})^2=\cfrac{\pi}{2} \hspace{30em}\] \[\quad \big(1-\sum_{n=0}^{\infty}2^nc_n^2 \big)K(\cfrac{1}{\sqrt{2}})^2=\cfrac{\pi}{2} \hspace{8em} (1) \hspace{26em}\]
$また、\alpha=AGM(a,b) とすると、定理９より$
\begin{eqnarray*} I(a,b) &=&I(\alpha,\alpha) \hspace{39em}\\ &=&\int_{0}^{\cfrac{\pi}{2}}\cfrac{d\theta}{\sqrt{\alpha^2\cos^2\theta+\alpha^2\sin^2\theta}}\\ &=&\cfrac{1}{\alpha}\int_{0}^{\cfrac{\pi}{2}}\cfrac{d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}}\\ &=&\cfrac{1}{\alpha} \times \cfrac{\pi}{2}\\ \end{eqnarray*} $よって I(a,b)=\cfrac{\pi}{2 \ AGM(a,b)}$
$\hspace{4em} K(\cfrac{1}{\sqrt{2}})=I(1,\cfrac{1}{\sqrt{2}})= \cfrac{\pi}{2 \ AGM(1,\cfrac{1}{\sqrt{2}})}$
したがって(1)は
\[\big(1-\sum_{n=0}^{\infty}2^nc_n^2 \big) \times \Bigl(\cfrac{\pi}{2 \ AGM(1,\cfrac{1}{\sqrt{2}})}\Bigr)^2=\cfrac{\pi}{2} \hspace{28em}\] $\piについてといて$
\[\pi=\cfrac{2 \ AGM(1,\cfrac{1}{\sqrt{2}})^2}{1-\sum_{n=0}^{\infty}2^nc_n^2} \hspace{28em}\]
これでやっと目標に達しました。これを「ガウスの公式」といいます。
実際に計算するには次のようにします。
$\qquad n \rightarrow \infty のとき a_n \rightarrow AGM(1,\cfrac{1}{\sqrt{2}}) だから p_n=\cfrac{2a_n^2}{1-\sum_{k=0}^n2^kc_k^2} \rightarrow \pi $ となる。
そこで
$\qquad a_n=\cfrac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, \quad b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}},\quad c_n=\cfrac{a_{n-1}-b_{n-1}}{2} (定理２の証明中)$
$\qquad S_n=S_{n-1}+2^nc_n^2$ として
$\qquad a_0=1,\quad b_0=\cfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad c_0=\cfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad S_0=2^0c_0^2=\cfrac{1}{2} \ \ とすればよい。$
$実際パソコンで計算してみると、ほんの一瞬、わずか n=7 で何と小数第173位まで正しいことがわかりました。$
$苦労した甲斐がありました。恐ろしいまでの公式ですね。$
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