５　$K(k) , \ E(k)$ の性質


$\hspace{2em} 定理11 \hspace{2em} K(k)=\cfrac{2}{1+k'}K\bigl(\cfrac{1-k'}{1+k'}\bigr)\hspace{2em} ただし　 k'=\sqrt{1-k^2}$

（証明）

$\hspace{2em} m=\cfrac{1-k'}{1+k'}, \quad m'=\sqrt{1-m^2}$ 　とすると

$\hspace{2em} m'=\sqrt{1-\big(\cfrac{1-k'}{1+k'}\big)^2}=\cfrac{2\sqrt{k'}}{1+k'}$

定理10の　$I(a,b)=\cfrac{1}{a}K(k) \hspace{2em} \Bigl(\quad a \geqq b , \quad k=\sqrt{1-\left(\cfrac{b}{a}\right)^2}\quad \Bigr )　で\ \ a=1, \quad b=k' \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} K(k) &=&I(1,k') \hspace{35em}\\ &=&I(\cfrac{1+k'}{2},\sqrt{k'}) \hspace{5em} (定理９　より)\\ &=&\cfrac{2}{1+k'}I(1,\cfrac{2\sqrt{k'}}{1+k'}) \hspace{4em} (定理８　より) \\ &=&\cfrac{2}{1+k'}I(1,m')\\ &=&\cfrac{2}{1+k'}K(m) \hspace{6em} ( \sqrt{1-m'^2}=m　より) \\ &=&\cfrac{2}{1+k'}K(\cfrac{1-k'}{1+k'})\\ \end{eqnarray*}

$\hspace{2em} 定理12　\hspace{2em} E(k)=(1+k')\ E(\cfrac{1-k'}{1+k'})-k'K(k) $

(証明）

$定理11の　 K(k)=\cfrac{2}{1+k'}K\big(\cfrac{1-k'}{1+k'}\big) 　より$

$\hspace{2em} (1+k')K(k)=2K(m)$

この両辺を$k$で微分して

$\hspace{2em} \cfrac{dk'}{dk}K(k)+(1+k')\cfrac{dK(k)}{dk}=2\cfrac{dK(m)}{dm}\cfrac{dm}{dk} \hspace{4em} (1)$


$\hspace{2em} m=\cfrac{1-k'}{1+k'} 　の両辺をkで微分すると$
\begin{eqnarray*} \cfrac{dm}{dk} &=&\cfrac{dk'}{dk}\cfrac{dm}{dk'}\hspace{34em}\\ & &\\ &=&-\cfrac{k}{k'}\ \cfrac{-(1+k')-(1-k')}{(1+k')^2}\\ & &\\ &=&\cfrac{2k^2}{kk'(1+k')^2}\\ & &\\ &=&\cfrac{2(1-k'^2)}{kk'(1+k')^2}\\ & &\\ &=&\cfrac{2(1-k')}{kk'(1+k')}\\ & &\\ &=&\cfrac{2m}{kk'}\\ \end{eqnarray*}
また
$\hspace{2em} k と k'=\sqrt{1-k^2} 　の関係は、m と m'=\sqrt{1-m^2}　の関係に対応しているから、$

$定理３の　\hspace{2em} \cfrac{dK(k)}{dk}=\cfrac{1}{kk'^2}\{E(k)-k'^2K(k)\}$

$で　 k \rightarrow m 　と置き換えると$

$\hspace{2em} \cfrac{dK(m)}{dm}=\cfrac{1}{mm'^2}\{E(m)-m'^2K(m)\}$

これらを(1)に代入すると

$\hspace{2em} -\cfrac{k}{k'}K(k)+(1+k')\cfrac{1}{kk'^2}\left\{E(k)-k'^2K(k)\right\}=2\cfrac{1}{mm'^2}\{E(m)-m'^2K(m)\}\cfrac{2m}{kk'}$

\begin{eqnarray*} \cfrac{1+k'}{kk'^2}E(k) &=&\bigl(\cfrac{1+k'}{k}+\cfrac{k}{k'}\bigr)K(k)+\cfrac{4}{kk'm'^2}\{E(m)-m'^2K(m)\}\hspace{16em}\\ & &\\ &=&\cfrac{k'+k'^2+k^2}{kk'}K(k)+\cfrac{4}{m'^2kk'}E(m)-\cfrac{4}{kk'}K(m)\\ & &\\ &=&\cfrac{k'+k'^2+(1-k'^2)}{kk'}K(k)+\cfrac{4}{m'^2kk'}E(m)-\cfrac{4}{kk'}\cfrac{1+k'}{2}K(k)\\ & &\\ &=&\cfrac{1+k'}{kk'}K(k)+\cfrac{4}{m'^2kk'}E(m)-\cfrac{2(1+k')}{kk'}K(k)\\ & &\\ &=&\cfrac{4}{(1-m^2)kk'}E(m)-\cfrac{1+k'}{kk'}K(k)\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} 第１項 &=&\cfrac{4}{\left\{1-\big(\cfrac{1-k'}{1+k'}\big)^2\right\}kk'}E(m)\hspace{23em}\\ & &\\ &=&\cfrac{4(1+k')^2}{\left\{(1+k')^2-(1-k')^2\right\}kk'}E(m)\\ & &\\ &=&\cfrac{(1+k')^2}{kk'^2}E(m)\\ \end{eqnarray*} だから、上式は

$\hspace{2em} \cfrac{1+k'}{kk'^2}E(k)=\cfrac{(1+k')^2}{kk'^2}E(m)-\cfrac{1+k'}{kk'}K(k)$

$\hspace{2em}E(k)=(1+k')E(m)-k'K(k)$

$\hspace{4em} =(1+k')E\bigl(\cfrac{1-k'}{1+k'}\bigr)-k'K(k)$



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