お茶の水女子大学(数学A) 2023年　問題3


$以下の問いに答えよ。ただし、等号成立条件については答えなくてよい。$
$(1)\ \ 正の実数 \ a_1,\ a_2\ に対して、不等式 \ \ \sqrt{a_1a_2} \leqq \cfrac{a_1+a_2}{2}\ \ を示せ。$
$(2)\ \ a_1,\ a_2,\ a_3 \ を正の実数とする。　関数 \ \ f(x)=\big(\cfrac{x+a_1+a_2}{3}\big)^3 - a_1a_2x \ \ の \ x \geqq 0 \ における増減を$
$\quad 調べることで、不等式 \ \ \sqrt[3]{a_1a_2a_3} \leqq \cfrac{a_1+a_2+a_3}{3}\ \ を示せ。$
$(3)\ \ n \ を自然数、a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n\ を正の実数とする。　このとき、不等式$
$\qquad \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n} \leqq \cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ \ を示せ。$


(1)


$f(x)=\big(\cfrac{x+a_1}{2}\big)^2 - a_1x \quad を考える。$

\begin{eqnarray*} f(x) &=&\cfrac{1}{4}(x+a_1)^2 - a_1x\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(x^2 -2a_1x +a_1^2)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(x -a_1)^2\\ \\ &\geqq &0 \end{eqnarray*} $a_1x \leqq \big(\cfrac{x+a_1}{2}\big)^2 $

$\therefore \sqrt{a_1x} \leqq \cfrac{x+a_1}{2} $

$x=a_2 \quad とおくと \quad \sqrt{a_1a_2 } \leqq \cfrac{a_1+a_2}{2}$


(2)


$f(x)=\big(\cfrac{x+a_1+a_2}{3}\big)^3 - a_1a_2x \quad より$

$f'(x)=3\big(\cfrac{x+a_1+a_2}{3}\big)^2 \times \cfrac{1}{3} - a_1a_2=\big(\cfrac{x+a_1+a_2}{3}\big)^2 -a_1a_2$

$f'(x)=0 \quad より \quad x+a_1+a_2=3\sqrt{a_1a_2}$

$x=3\sqrt{a_1a_2}-a_1-a_2 \qquad この \ x\ を \ \alpha \ \ とおくと$

$増減表は$
\[\qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \alpha & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$x=\alpha \ で極小かつ最小となり、最小値は$

\begin{eqnarray*} f(\alpha) &=&\big(\cfrac{3\sqrt{a_1a_2}}{3}\big)^3 - a_1a_2(3\sqrt{a_1a_2}-a_1-a_2)\\ \\ &=&a_1a_2\sqrt{a_1a_2} - a_1a_2(3\sqrt{a_1a_2}-a_1-a_2)\\ \\ &=&2a_1a_2(-\sqrt{a_1a_2} + \cfrac{a_1+a_2}{2})\\ \\ &\geqq& 0 \qquad (\ (1)より\ )\\ \end{eqnarray*}
$f(x) \geqq f(\alpha) \geqq 0 \quad だから$

$a_1a_2x \leqq \big(\cfrac{x+a_1+a_2}{3}\big)^3$

$\therefore \ \ \sqrt{a_1a_2x} \leqq \cfrac{x+a_1+a_2}{3}$

$x=a_3 \quad とおくと \quad \sqrt{a_1a_2a_3} \leqq \cfrac{a_1+a_2+a_3}{3}$


(3)


$数学的帰納法で示す。$

(i)$\ \ n=2 \ \ のとき(1)より成りたつ。$

(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \qquad \large{\sqrt[k]{a_1a_2 \cdots a_k}} \leqq \normalsize{\cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_k}{k}}$

$\quad このとき次のような関数 \ f(x)\ を考える、$

$\quad f(x)=\big(\cfrac{x+a_1+a_2+ \cdots + a_k}{k+1}\big)^{k+1} - a_1a_2 \cdots a_k x$

\begin{eqnarray*} \quad f'(x) &=&(k+1)\big(\cfrac{x+a_1+a_2+ \cdots + a_k}{k+1}\big)^k \times \cfrac{1}{k+1} - a_1a_2 \cdots a_k \\ \\ &=&\big(\cfrac{x+a_1+a_2+ \cdots + a_k}{k+1}\big)^k - a_1a_2 \cdots a_k \\ \end{eqnarray*}
$\quad f'(x)=0 \quad より$

$\quad (x+a_1+a_2 + \cdots + a_k)^k =(k+1)^ka_1a_2 \cdots a_k$

$\quad x+a_1+a_2 + \cdots + a_k =(k+1) \sqrt[k]{a_1a_2 \cdots a_k}$

$\quad x=(k+1) \sqrt[k]{a_1a_2 \cdots a_k} -(a_1+a_2 + \cdots + a_k) \qquad この \ x\ を \ \alpha \ \ とおくと$

$\quad 増減表は$

\[\qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \alpha & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$\quad x=\alpha \ で極小かつ最小となり、最小値は$

\begin{eqnarray*} \quad f(\alpha) &=&\big(\cfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2 \cdots a_k}}{k+1}\big)^{k+1} - a_1a_2 \cdots a_k \big((k+1) \sqrt[k]{a_1a_2 \cdots a_k} -(a_1+a_2 + \cdots + a_k)\big)\\ \\ &=&a_1a_2\cdots a_k \sqrt[k]{a_1a_2 \cdots a_k} - a_1a_2 \cdots a_k \big((k+1) \sqrt[k]{a_1a_2 \cdots a_k} -(a_1+a_2 + \cdots + a_k)\big)\\ \\ &=&a_1a_2\cdots a_k \big(-k \sqrt[k]{a_1a_2 \cdots a_k} +(a_1+a_2 + \cdots + a_k)\big)\\ \\ &=&ka_1a_2\cdots a_k \big(-\sqrt[k]{a_1a_2 \cdots a_k} + \cfrac{a_1+a_2 + \cdots + a_k}{k}\big)\\ \end{eqnarray*}
$\quad n=k \ \ の仮定より \quad f(\alpha) \geqq 0$

$\quad よって \quad f(x) \geqq f(\alpha) \geqq 0 \quad だから$

$\quad a_1a_2 \cdots a_k x \leqq \big(\cfrac{x+a_1+a_2+ \cdots + a_k}{k+1}\big)^{k+1}$

$\quad \therefore \ \ \large{\sqrt[k+1]{a_1a_2 \cdots a_k x}} \leqq \normalsize{\cfrac{x+ a_1+a_2+ \cdots + a_k }{k+1}}$

$\quad x=a_{k+1} \quad とおくと$

$\quad \large{\sqrt[k+1]{a_1a_2 \cdots a_k a_{k+1}}} \leqq \normalsize{\cfrac{a_1+a_2+ \cdots + a_k +a_{k+1}}{k+1}}$

$\quad よって \ \ n=k+1\ \ のときも成りたつ。$

(i),(ii)$\ \ よりすべての \ n \geqq 2 \ の自然数\ n \ について成りたつ。$

$なお、n=1\ \ のとき明らかに等号がなりたつから、すべての自然数 \ n\ について$

$\qquad \large{\sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n}} \leqq \normalsize{\cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}}$


$なお、他の方法による証明については$

$\quad 解析的方法は$相加・相乗平均の不等式(解析編)メニュー>

$\quad 代数的方法は$相加・相乗平均の不等式(代数編)

$を参考にしてください。$


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