定積分における平均値の定理


$(1)\ \ 区間 \ [a,\ b]\ で連続な関数 \ f(x)\ について$
\[\int_a^bf(x)dx =(b-a)f(c) \quad となる \ c\ が \ a\ と \ b\ の間に少なくとも \ 1\ つ存在する。\]


$\quad これを定積分における平均値の定理といいます。$

$(証明)$

$\quad a < b \ \ とする。f(x)\ は \ [a,\ b]\ で連続だから最大値 \ M\ と最小値 \ m\ が存在して \quad m \leqq f(x) \leqq M$
$\qquad (これを最大値・最小値定理といいますが、ここでは、証明は略します。)$

$これを \ [a,\ b]\ で積分して$
\[\quad \int _a^b mdx \leqq \int _a^b f(x)dx \leqq \int _a^b Mdx\] \[したがって \quad m(b-a) \leqq \int _a^b f(x)dx \leqq M(b-a)\] \[すなわち \quad m \leqq \cfrac{1}{b-a}\int _a^b f(x)dx \leqq M\] \[ここで \quad \cfrac{1}{b-a}\int _a^b f(x)dx=K \ \ (K\ は定数)とおくと \quad m \leqq K \leqq M \] $\qquad 中間値の定理より \quad K=f(c)\ \ となる \ c\ が \ a\ と \ b\ の間に少なくとも \ 1\ つ存在する。$
\[すなわち \quad \int_a^bf(x)dx =(b-a)f(c) \quad となる \ c\ が \ a\ と \ b\ の間に少なくとも \ 1\ つ存在する。\]
$\hspace{4em} これは \ \ $区分求積法と定積分$の「定理3 \ \ 定積分における平均値の定理」と同内容です。$


$なお、f(x)\ の不定積分を \ F(x)\ とすると \quad F'(x)=f(x)$

$微分法の平均値の定理は \quad \cfrac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(c)=f(c) \quad となる \ c\ が \ (a,\ b)\ に存在するだから$
\[F(b)-F(a)=(b-a)f(c) \quad と変形すると \quad 左辺=\int _a^b f(x)dx \quad だから\] \[\int _a^b f(x)dx=(b-a)f(c) \quad となって積分型の平均値の定理が導かれる。\]
$また逆に、積分型の平均値の定理は$
\[\int _a^bf(x)dx=(b-a)f(c) \quad より \quad F(b)-F(a)=(b-a)f(c)\]
$すなわち \quad \cfrac{F(b)-F(a)}{b-a}=f(c)=F'(c) \quad となって微分型の平均値の定理が導かれます。$


$例 $
\[\lim _{x \rightarrow 0}\cfrac{1}{x}\int _0^x e^{-t^2} dt \quad の値は上の平均値の定理をつかうと簡単に求められます。\]
\[\cfrac{1}{x-0}\int _0^x e^{-t^2} dt =e^{-c^2} \quad をみたす \ c\ が \ 0\ と \ x\ の間に存在する。\]
\[x \longrightarrow 0 \quad のとき \quad c \longrightarrow 0 \quad だから \quad \lim _{x \rightarrow 0}\cfrac{1}{x}\int _0^x e^{-t^2} dt =\lim _{c \rightarrow 0}e^{-c^2}=e^0=1\]

$(2)\ \ 区間 \ [a,\ b]\ で連続な関数 \ f(x)\ と \ g(x)\ ( g(x) > 0)\ について$
\[\int_a^bf(x)g(x)dx =f(c)\int _a^bg(x)dx \quad となる \ c\ が \ a\ と \ b\ の間に少なくとも \ 1\ つ存在する。\]


$(証明)$
\[a < b \ \ で \ g(x) > 0 \quad だから \quad \int _a^b g(x)dx > 0 \] $\quad f(x)\ は \ [a,\ b]\ で連続だから最大値 \ M\ と最小値 \ m\ が存在して \quad m \leqq f(x) \leqq M$

$よって \quad mg(x) \leqq f(x)g(x) \leqq Mg(x) \qquad これを \ [a,\ b]\ で積分して$

\[m\int_a^bg(x)dx \leqq \int_a^bf(x)g(x)dx \leqq \int_a^b Mg(x)dx\]
\[すなわち \quad m \leqq \cfrac{\large{\int _a^b}\normalsize{ f(x)g(x)dx}}{\large{\int_a^b}\normalsize{g(x)dx}} \leqq M \]
\[ここで \quad \cfrac{\large{\int_a^b}\normalsize{f(x)g(x)dx}}{\large{\int_a^b}\normalsize{g(x)dx}} =K \ \ (K\ は定数)とおくと \quad m \leqq K \leqq M \]
$\qquad 中間値の定理より \quad K=f(c)\ \ となる \ c\ が \ a\ と \ b\ の間に少なくとも \ 1\ つ存在する。$

\[すなわち \quad \int_a^bf(x)g(x)dx =f(c)\int_a^bg(x)dx \quad となる \ c\ が \ a\ と \ b\ の間に少なくとも \ 1\ つ存在する。\]


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