九州大学(理系) 2019年 問題1
$\quad nを自然数とする。x,\ y\ がすべての実数を動くとき、定積分$
\[\qquad \int_0^1(\sin(2n\pi t)-xt-y)^2dt\]
\[の最小値をI_nとおく。極限 \lim_{n \rightarrow \infty}I_n を求めよ。\]
$(解説)$
$被積分関数を展開して積分し、x,\ y\ の2次式を平方完成して求めます。$
$数学的(?)にはこれは「最小2乗近似」といわれる問題ですが、別解としてこの方法で求めてみます。$
$(注)\ \ \sin (2n\pi t)\ を \ \sin 2n\pi t \ \ と書くことにします。$
\[J=\int_0^1 (\sin 2n\pi t -xt-y)^2dt=\int_0^1(\sin ^22n\pi t +x^2t^2+y^2-2xt\sin 2n\pi t +2xyt-2y\sin 2n\pi t)dt\] $において 積分の各項は$
\[J_1=\int_0^1\sin ^2 2n\pi t dt=\frac{1}{2}\int_0^1(1-\cos 4n\pi t)dt=\frac{1}{2}\big[t-\frac{1}{4n\pi}\sin 4n\pi t\big]_0^1=\cfrac{1}{2}\]
\[J_2=\int_0^1 t \sin 2n\pi t dt=\big[-\cfrac{t}{2n\pi}\cos 2n\pi t\big]_0^1+\int _0^1\frac{1}{2n\pi}\cos 2n\pi tdt=-\cfrac{1}{2n\pi}+\frac{1}{4n^2\pi ^2}\big[\sin 2n\pi t\big]_0^1=-\cfrac{1}{2n\pi}\]
\[J_3=\int_0^1\sin 2n\pi t dt=-\frac{1}{2n\pi}\big[\cos 2n\pi t\big]_0^1=0\]
\[J_4=\int_0^1 (x^2t^2+y^2+2xyt)dt=\cfrac{x^2}{3}+y^2+xy\] $よって$
\begin{eqnarray*} J &=&J_1-2xJ_2-2yJ_3+J_4\\ &=&\cfrac{1}{2}-2x(-\cfrac{1}{2n\pi})-2y \times 0 +(\cfrac{x^2}{3}+y^2+xy)\\ &=&y^2+xy+\cfrac{x^2}{3}+\cfrac{x}{n\pi}+\cfrac{1}{2}\\ &=&(y+\frac{x}{2})^2+\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{x}{n\pi}+\cfrac{1}{2}\\ &=&(y+\frac{x}{2})^2+\frac{1}{12}(x+\cfrac{6}{n\pi})^2+\cfrac{1}{2}-\frac{3}{n^2\pi ^2}\\ \end{eqnarray*} $\qquad Jは \quad x=-\cfrac{6}{n\pi},\quad y=-\cfrac{x}{2}=\cfrac{3}{n\pi} \ \ のとき \ 最小値 \ \ I_n=\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{n^2\pi ^2}\ \ をもつ$
\[したがって \quad \lim_{n \rightarrow \infty}I_n~=\lim_{n \rightarrow \infty}(\cfrac{1}{2}-\frac{3}{n^2\pi ^2})=\cfrac{1}{2}\]
$(別解)$
\[設問を \int_0^1(\sin 2n\pi x-(ax+b))^2dx \ \ としますと、これは区間 \ [0,\ 1]\ における関数 \ \ \sin 2n\pi x \ \ の\] $\qquad 1次式 \ ax+b \ による最小2乗近似を求める問題です。$
$有限個の正規直交系\{\varphi_i(x)\}の線形結合$
$\quad \alpha_1\varphi_1(x)+\alpha_2\varphi_2(x)+ \cdots + \alpha_n\varphi_n(x) \quad (\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n \ \ は実数)$
$によるf(x)との差のノルム \ \ (ノルムについては$ ノルムと距離$を参考にしてください。)$
\[||f-\sum_i \alpha_i\varphi_i||^2=\int_a^b\{f(x)-\sum_i \alpha_i\varphi_i(x)\}^2dx\] $は \ \ \alpha_i=(f,\varphi_i) \ \ のとき最小になります。(このことについては$最小2乗近似$を参考にしてください。)$
$区間 \ [0,\ 1]\ において、 \varphi_1(x)=1,\ \ \varphi_2(x)=2x-1 \ \ が直交系をなし、正規直交系は \{1,\ \sqrt{3}(2x-1)\}\ \ です。$
$(このことについては$正規直交系$を参考にしてください。)$
$そこで、まず、\alpha_1 と\alpha_2 を求めます。$
\[\alpha_1=\int _0^1\sin 2n\pi x \varphi_1(x)dx=\int_0^1\sin 2n\pi x dx=-\cfrac{1}{2n\pi}\big[\cos 2n\pi x\big]_0^1=0\] \begin{eqnarray*} \alpha_2 &=&\int _0^1 \sin 2n\pi x \varphi_2(x)dx\\ &=&\int_0^1 \sin 2n\pi x \cdot \sqrt{3}(2x-1)dx\\ &=&2\sqrt{3}\int_0^1 x\sin 2n\pi x dx-\sqrt{3}\int_0^1\sin 2n\pi xdx\\ &=&2\sqrt{3}\big\{-\cfrac{1}{2n\pi}\big[x\cos 2n\pi x\big]_0^1+\int_0^1 \cfrac{\cos 2n\pi x}{2n\pi}dx\big\}\\ &=&-\cfrac{\sqrt{3}}{n\pi}\\ \end{eqnarray*} $よって \quad \sin 2n\pi x \ \ の最小2乗1次近似式は$
$\quad \alpha_1\varphi_1(x)+\alpha_2\varphi_2(x)=-\cfrac{\sqrt{3}}{n\pi} \times \sqrt{3}(2x-1)=-\cfrac{6}{n\pi}x+\cfrac{3}{n\pi}$
$で、最小値 \ I_n \ は$
\[I_n=\int_0^1\big\{\sin 2n\pi x-(-\small{\cfrac{6}{n\pi}}x+\small{\cfrac{3}{n\pi})}\big\}^2dx\] $を展開して積分すれば求まりますが、実際は \ J_1 \ から \ J_4 \ で計算は済んでいます。$
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