絶対収束級数


$級数 \quad u_1+u_2+u_3+ \cdots + u_n + \cdots \quad (1)$

$に対して、各項に絶対値記号を付けた$

$級数 \quad |u_1|+|u_2|+|u_3|+ \cdots + |u_n| + \cdots \quad (2)$

$を(1)の絶対値級数といい、これが収束するとき絶対収束するという。$

$なお、(1)が収束するが、(2)が収束しないとき、(1)は条件収束するという。$


$定理 $
$級数 \ \ |u_1|+|u_2|+|u_3|+\cdots +|u_n| + \cdots \quad が絶対収束するならば$
$級数 \ \ u_1 + u_2 + u_3 +\cdots +u_n + \cdots \quad も収束する。$


$(証明)$

$任意の \ 2\ つの自然数を \ q,\ p\ \ (q < p)\ に対して$

$|u_{q+1}+u_{q+2}+ \cdots +u_p| \leqq |u_{q+1}| + |u_{q+2}| + \cdots + |u_p| $

$級数 \ \ |u_1|+|u_2|+|u_3|+\cdots +|u_n| + \cdots \quad が絶対収束するならば$

$任意の \ \varepsilon > 0\ に対して自然数 \ N\ が存在し、p > q > N\ \ を満たす自然数 \ p,\ q\ \ に対して$

$|u_{q+1}|+ |u_{q+2}|+ \cdots + |u_{p}| < \varepsilon $

$よって \quad |u_{q+1}+u_{q+2}+ \cdots +u_p| \leqq \varepsilon \quad となって コーシーの収束条件を満たすから$

$級数 \ \ u_1 + u_2 + u_3 +\cdots +u_n + \cdots \quad は収束する。$

$このことについては($無限級数の収束$)定理 \ 2\ をご覧ください。$


　

ページの先頭へ↑



無限級数メニュー　に戻る


メインメニュー　に戻る