MY MATH NOTE

双曲線

１　定義

　
$\quad 左辺は正であるから、x > \cfrac{a}{e}$

$\quad また、左辺は線分 \ PF\ の長さで、右辺は点P(x,\ y)\ \ から$
$\quad 直線\ l: x=\cfrac{a}{e}\ \ に下ろした垂線の長さの \ e\ 倍だから$

$\qquad PF=ePH $

$\quad また、△PF'Fにおいて \quad PF+ FF'>PF' \ \ より \quad FF' > PF'-PF$

$\qquad ($ 三角形の辺と角をめぐる基本定理$を参考にしてください)$

$\qquad 2c > 2a \qquad \therefore c > a$

$\quad (1)の両辺を平方して$

$\quad a^2\{(x-c)^2+y^2\}=(cx-a^2)^2$

$\quad (c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$

$\quad したがって \quad \cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{c^2-a^2}=1$


$(2) \ \ PF > PF' \quad のとき$

$\quad PF-PF'=2a \quad (a\ は正の定数)より$

$\quad \sqrt{(x-c)^2+y^2)}-\sqrt{(x+c)^2+y^2)}=2a$

$\quad \sqrt{(x-c)^2+y^2)}=\sqrt{(x+c)^2+y^2)}+2a$

$\quad 両辺ともに正だから平方して$

$\quad (x-c)^2+y^2 = (x+c)^2+y^2 + 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2)} + 4a^2$

$\quad a\sqrt{(x+c)^2+y^2)}=-a^2-cx \hspace{10em}(3)$

$\quad \sqrt{(x+c)^2+y^2)}=\cfrac{c}{a}\big(-\cfrac{a^2}{c}-x\big)$

$\quad \cfrac{c}{a}=e \quad とおくと \quad \cfrac{a^2}{c}=\cfrac{a}{e} \quad だから$

$\quad \sqrt{(x+c)^2+y^2)}=e\big(-\cfrac{a}{e}-x \big) \hspace{10em} (4)$

　 $\quad 左辺は正であるから、x < -\cfrac{a}{e}$

$\quad また、左辺は線分 \ PF'\ の長さで、右辺は点P(x,\ y)\ \ から$
$\quad 直線\ l: x=-\cfrac{a}{e}\ \ に下ろした垂線の長さの \ e\ 倍だから$

$\qquad PF'=ePH $

$\quad また、△PF'Fにおいて \quad PF'+FF'>PF \quad より \quad FF' > PF-PF'$

$\qquad 2c > 2a \qquad \therefore c > a$

$\quad (3)の両辺を平方して$

$\quad a^2\{(x+c)^2+y^2\}=(-a^2-cx)^2$

$\quad (c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$

$\quad したがって \quad \cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{c^2-a^2}=1$

$(1),(2)ともに同じ式が導かれました。$

$c^2-a^2=b^2\quad (b>0) \quad とおくと \quad \cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1 \quad これが双曲線の方程式です。$

$なお \quad c^2=a^2+b^2 \quad だから \quad e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} > 1$

$F(c,\ 0)\ と \ F'(-c,\ 0)\ を焦点、e\ \ を離心率、直線 \ \ x=\pm \cfrac{a}{e}\ を準線といいます。$


$また、2定点 \ F,\ F'\ を通る直線を \ y\ 軸にとり、線分 \ FF'\ の垂直二等分線を \ x\ 軸にとった場合$

$\quad 点P(x,\ y)\ を原点の回りに \ 90°回転した点を \ P'(x',\ y')\ とすると$

$\quad x'=-y,\quad y'=x \quad だから \quad x=y',\quad y=-x' \quad を$

$\quad \cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1 \quad に代入して \quad \cfrac{y'^2}{a^2}-\cfrac{x'^2}{b^2}=1$

$\quad あらためて \quad x',\ y'\ \ を \ x,\ y \ \ とかくと \quad -\cfrac{x^2}{b^2}+\cfrac{y^2}{a^2}=1$

$これでよいが、さらに \ a\ と \ b\ を入れ替えて \quad -\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$

$この方が公式としては格好がいいが、2\ 定点からの距離の差が \ 2b\ となることに注意しましょう。$

$焦点は \ F(0,\ c)\ と \ F'(0,\ -c)、離心率は \quad e=\cfrac{c}{b}=\cfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{b} \quad 準線は \ \ y=\pm \cfrac{b}{e} $

2　増減

3　漸近線

　 $対称性から \quad x>0,\ y>0 \ の部分で考えると \quad y=\cfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$

$\quad 漸近線 \quad y=mx+n \quad の求め方は($漸近線$)をご覧ください。$
\[m=\lim _{x \rightarrow \infty}\cfrac{y}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty}\cfrac{b}{a}\cfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}=\cfrac{b}{a}\lim _{x \rightarrow \infty}\sqrt{1-\cfrac{a^2}{x^2}}=\cfrac{b}{a}\] \[n=\lim _{x \rightarrow \infty}\big(\cfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}-\cfrac{b}{a}x\big)=\cfrac{b}{a}\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x^2-a^2}-x)=\cfrac{b}{a}\lim _{x \rightarrow \infty}\cfrac{-a^2}{\sqrt{x^2-a^2}+x}=0\]
$\quad 対称性から漸近線は \quad y=\pm \cfrac{b}{a}x$

$グラフは右図のとおりです。$

4　PF、PF'　の長さ

4　極座標表示

　
$△PF'Fに余弦定理を用いて$

$\quad r'^2=r^2+(2c)^2-2r(2c)\cos(\pi-\varphi)$

$\quad r'-r=2a,\quad c^2=a^2+b^2 \quad を代入して$

$\quad (r+2a)^2=r^2+4(a^2+b^2)+4rc\cos \varphi $

$\quad r(a-c\cos \varphi )=b^2$

$\quad r=\cfrac{b^2}{a-c\cos \varphi}=\cfrac{\cfrac{b^2}{a}}{1-\cfrac{c}{a}\cos \varphi}$

$ここで \quad \cfrac{c}{a}=e,\quad \cfrac{b^2}{a}=l \quad とおくと \quad r=\cfrac{l}{1-e\cos \varphi}$

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