コーシーの関数方程式
1 正規分布の導出に使われる関数方程式
$定理1$
$\qquad 関数f(x)はxのみの関数で、微分可能とする。変数x,y,z \ が$
$\hspace{3em} x+y+z=0,\quad f(x)+f(y)+f(z)=0 \ \ ならば \ \ f(x)=ax \ \ (aは定数)$
$証明$
$f(x)+f(y)+f(z)=0 \ \ をxで偏微分すると \ \ z=-x-y \ \ だから$
$\qquad \cfrac{\partial f(x)}{\partial x }+\cfrac{\partial z}{\partial x }\cfrac{\partial f(z)}{\partial z}=0 $
$\qquad \cfrac{\partial f(x)}{\partial x }-\cfrac{\partial f(z)}{\partial z}=0 \hspace{15em}(1)$
$同様にyで偏微分して$
$\qquad \cfrac{\partial f(y)}{\partial y }-\cfrac{\partial f(z)}{\partial z}=0 \hspace{15em}(2)$
$(1),(2)より$
$\qquad \cfrac{\partial f(x)}{\partial x }=\cfrac{\partial f(y)}{\partial y }$
$左辺はxのみの式で、右辺はyのみの式だから、等しくなるのは定数関数の場合である。$
$したがって \cfrac{\partial f(x)}{\partial x }=a\ \ (定数) \quad \therefore f(x)=ax+b$
$とくに \ \ x=y=0 \ \ とおくと \qquad f(0)+f(0)+f(0)=0$
$\qquad 3f(0)=0 \ \ より f(0)=0$
$\qquad f(0)=a \times 0+b =0 \ \ より b=0$
$\qquad \therefore f(x)=ax$
$このことは、n\ (n \geqq 4)に拡張できます。$
$定理2$
$\qquad 関数f(x)はxのみの関数で、微分可能とする。変数x_1,x_2,\cdots , x_n \ \ が$
$\hspace{3em} x_1+x_2+\cdots +x_n=0,\quad f(x_1)+f(x_y)+\cdots +f(x_n)=0 \ \ ならば \ \ f(x)=ax \ \ (aは定数)$
$なお、この定理2は測定値の誤差が正規分布にしたがうことの証明($ 正規分布の確率密度関数$)につかわれます。$
2 コーシーの関数方程式
$\qquad f(x_1+x_2+\cdots +x_n)=f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)$
$をコーシーの関数方程式といいますが、前の関数方程式と同値になります。$
$定理3$
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x_1+x_2+\cdots +x_n=0 \hspace{6em}(1)\\
f(x_1)+f(x_y)+\cdots +f(x_n)=0 \hspace{2em}(2)\\
\end{array} \right.
\quad \Longleftrightarrow
\quad f(x_1+x_2+\cdots +x_n)=f(x_1)+f(x_y)+\cdots +f(x_n) \hspace{1em}(3)
\]
$x_1=x_2=\cdots =x_n=0 \ \ は(1)をみたす。$
$(2)より$
$\qquad f(0)+f(0)+\cdots +f(0)=0 $
$\qquad nf(0)=0 \quad \therefore f(0)=0$
$(1)をつかって \quad f(x_1+x_2+\cdots +x_n)=f(0)=0$
$(2)より \quad f(x_1)+f(x_y)+\cdots +f(x_n)=0 \ \ だから$
$\qquad \therefore f(x_1+x_2+\cdots +x_n)=f(x_1)+f(x_y)+\cdots +f(x_n) $
$となって (3)がなりたつ。$
$\Longleftarrow の証明$
$(3)で x_1=x_2=\cdots =x_n=0 \ \ とおくと$
$\qquad f(0)=f(0)+f(0)+\cdots +f(0)$
$\qquad (n-1)f(0)=0 \qquad \therefore f(0)=0$
$また、 x_1+x_2+\cdots +x_n=0 \ \ とすると(1)をみたし$
$(3)より f(0)=f(x_1)+f(x_y)+\cdots +f(x_n) $
$\qquad \therefore 0=f(x_1)+f(x_y)+\cdots +f(x_n) \ \ となって(2)がなりたつ。$
$これで、(1)(2)と(3)は同値であることがわかりました。$
$定理1では、(1)(2)とf(x)の微分可能性を仮定して、f(x)=ax\ \ を導きましたが$
$(3)をつかうと、f(x)の連続性だけで導くことができます。$
3 コーシーの関数方程式の解
$定理4$
$\quad f(x)が連続ならば、f(x_1+x_2+\cdots +x_n)=f(x_1)+f(x_y)+\cdots +f(x_n) \ \ の解は f(x)=ax$
$証明$
$x_1=x_2=\cdots =x_n=x \ \ とおくと \quad f(nx)=nf(x) \hspace{15em}(1)$
$(1)で \ x \rightarrow \cfrac{x}{n} \ \ とおくと$
$\qquad f(x)=nf(\cfrac{x}{n})$
$\qquad \therefore f(\cfrac{x}{n})=\cfrac{1}{n}f(x) \hspace{28em}(2)$
$(1)で \ x=\cfrac{1}{m} \ \ とおくと$
$\qquad f(\cfrac{n}{m})=nf(\cfrac{1}{m}) \hspace{29em}(3)$
$(2)でx=1,\ \ n \rightarrow m \ \ とおくと$
$\qquad f(\cfrac{1}{m})=\cfrac{1}{m}f(1) \hspace{29em}(4)$
$(4)を(3)に代入して$
$\qquad f(\cfrac{n}{m})=\cfrac{n}{m}f(1) $
$\qquad x=\cfrac{n}{m},\ \ f(1)=a \ \ とおくと f(x)=ax$
$とくに、x_1=y,\ x_2=-y,\ \ x_3=x_4=\cdots =x_n=0 \ \ とおくと$
$\qquad f(0)=f(y)+f(-y)$
$\qquad f(0)=0 \ \ だから 0=f(y)+f(-y) \quad \therefore f(-y)=-f(y) \hspace{12em}(5)$
$(5)でx=-y とおくと f(x)=-f(-x)$
$\qquad \therefore f(-x)=-f(x)=-ax=a(-x)$
$したがって、xの正負にかかわらず、任意の有理数について \ \ f(x)=ax \hspace{7em}(6)$
$では、xが実数のときはどうするか、ということになりますが、このままでは先に進めません。$
$f(x)の連続性を仮定します。$
$無理数は、循環しない無限小数であらわされますので、実数\alpha について \ \ \alpha =a_0.a_1a_2 a_3\cdots とおくと$
$\qquad p_0=a_0$
$\qquad p_1=a_0+\cfrac{a_1}{10}$
$\qquad p_2=a_0+\cfrac{a_1}{10}+\cfrac{a_2}{10^2}$
$\hspace{3em} \vdots$
$\qquad p_n=a_0+\cfrac{a_1}{10}+\cfrac{a_2}{10^2}+\cdots + \cfrac{a_n}{10^n}$
$で定まる有理数列 p_1,p_2,\cdots , p_n \ \ に対して$
\[\alpha =\lim _{n \rightarrow \infty} p_n\] \[f(x)はx=\alpha \ \ で連続だから \lim _{n \rightarrow \infty} f(p_n)=f(\lim _{n \rightarrow \infty}p_n)=f(\alpha)\] $したがって$
\[f(\alpha)=\lim _{n \rightarrow \infty} f(p_n)=\lim _{n \rightarrow \infty} ap_n=a\lim _{n \rightarrow \infty} p_n=a \alpha \]
$となって、無理数\alpha についても f(\alpha)=a \alpha \ \ が成り立ちます。\ \ \alpha は任意の無理数だから、$
$\qquad すべての実数について、f(x)=ax$
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