6 標本分散
$n個のデータx_1,x_2,\cdots , x_n を扱うとき、これらをある確率分布にしたがう確率変数Xの実現値と考え、$
$「標本」といいました。$(順序統計量参照)
\[\overline{X}=\cfrac{1}{n}\sum _{i=1}^n X_i ,\quad S^2=\cfrac{1}{n}\sum _{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\] $をそれぞれ標本平均、標本分散といいます。$
$定理 Xが正規分布N(\mu,\sigma ^2)にしたがうとき、\cfrac{nS^2}{\sigma ^2} は自由度 \ n-1 \ の\chi ^2 分布にしたがう。$
\begin{eqnarray*} nS^2 &=&\sum _{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\\ &=&\sum _{i=1}^n \{(X_i-\mu)-(\overline{X}-\mu)\}^2\\ &=&\sum _{i=1}^n (X_i-\mu)^2-2(\overline{X}-\mu) \sum _{i=1}^n (X_i-\mu) + \sum _{i=1}^n (\overline{X}-\mu)^2\\ &=&\sum _{i=1}^n (X_i-\mu)^2-2(\overline{X}-\mu) \bigl\{ \sum _{i=1}^n X_i- \sum _{i=1}^n \mu \bigr\} + n (\overline{X}-\mu)^2\\ &=&\sum _{i=1}^n (X_i-\mu)^2-2(\overline{X}-\mu) (n\overline{X}- n \mu ) + n (\overline{X}-\mu)^2\\ &=&\sum _{i=1}^n (X_i-\mu)^2-2n(\overline{X}-\mu)^2 + n (\overline{X}-\mu)^2\\ &=&\sum _{i=1}^n (X_i-\mu)^2-n(\overline{X}-\mu)^2\\ \end{eqnarray*} $両辺を\sigma ^2 で割って$
\[\sum _{i=1}^n \big(\cfrac{X_i-\mu}{\sigma}\bigr)^2=\cfrac{nS^2}{\sigma ^2}+\cfrac{n(\overline{X}-\mu)^2}{\sigma ^2}\] \[\sum _{i=1}^n \big(\cfrac{X_i-\mu}{\sigma}\bigr)^2=\cfrac{nS^2}{\sigma ^2}+\Bigl(\cfrac{\overline{X}-\mu} {\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}} \Bigr)^2 \] \[左辺の \cfrac{X_i-\mu}{\sigma} はN(0,1)にしたがうから、\sum _{i=1}^n \big(\cfrac{X_i-\mu}{\sigma}\bigr)^2 は自由度nの\chi ^2 分布にしたがう。\] $\hspace{2em} 右辺の第2項は \overline{X}がN(\mu,\cfrac{\sigma ^2}{n})にしたがうから、$(正規母集団の標本平均参照)$\ \ \cfrac{\overline{X}-\mu} {\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}} はN(0,1)にしたがう。$
$\hspace{2em} よって、\Bigl(\cfrac{\overline{X}-\mu} {\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}} \Bigr)^2 は自由度1の\chi ^2 分布にしたがう。$
$したがって、\cfrac{nS^2}{\sigma ^2} は自由度 \ n-1 \ の\chi ^2 分布にしたがう。$
$なお、\overline{X}とS^2は1つの正規母集団からとった標本の2つの統計量だから互いに独立であることを示さないと$
$いけないが、その証明は行列の固有値に言及しなくてはならない(ほかにも証明法はあるが)のでここでは$
$深入りせずにそのまま認めることとしましょう。$
$この定理は大変重要で、これにより、母分散の推定や検定が可能になります。$
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