2 自由度2のχ2乗分布
$2つの確率変数X_1,X_2が互いに独立に標準正規分布N(0,1)にしたがうとき \ \ Y=X_1^2+X_2^2 \ \ で定まる$
$確率変数Yの確率密度関数を求めましょう。$
$1\ \ より、Y_1=X_1^2,\ Y_2=X_2^2 \ \ はともに自由度1の \ \chi ^2 分布 f_1(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{-\small{\dfrac{1}{2}}}e^{-\small{\dfrac{x}{2}}} にしたがうから$
$それらの和は合成積(たたきこみ)$ (2つの確率変数の和$を参照してください)をとって$
\begin{eqnarray*} f_2(x) &=&\int _0^x f_1(y)f_1(x-y)dy\\ \\ &=&\int _0^x \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-\small{\dfrac{1}{2}}}e^{-\small{\dfrac{y}{2}}} \times \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}(x-y)^{-\small{\dfrac{1}{2}}}e^{-\small{\dfrac{x-y}{2}}}dy\\ \\ &=&\cfrac{1}{2\pi}e^{-\small{\dfrac{x}{2}}} \int _0^x y^{-\small{\dfrac{1}{2}}}(x-y)^{-\small{\dfrac{1}{2}}}dy\\ \end{eqnarray*} $y=xu \ \ と変数変換すると dy=xdu $
\begin{eqnarray*} f_2(x) &=&\cfrac{1}{2\pi}e^{-\small{\dfrac{x}{2}}} \int _0^1 (xu)^{-\small{\dfrac{1}{2}}}(x-xu)^{-\small{\dfrac{1}{2}}}\ xdu\\ \\ &=&\cfrac{1}{2\pi}e^{-\small{\dfrac{x}{2}}} \int _0^1 u^{-\small{\dfrac{1}{2}}}(1-u)^{-\small{\dfrac{1}{2}}}du\\ \end{eqnarray*} $この積分項はベータ関数 \ B(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}) \ \ となるからガンマ関数を用いて \quad B(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2})=\cfrac{\Gamma(\dfrac{1}{2})\Gamma(\dfrac{1}{2})}{\Gamma(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})}=\pi$
$よって$
$\qquad f_2(x)=\cfrac{1}{2\pi}e^{-\small{\dfrac{x}{2}}} \times \pi=\cfrac{1}{2}e^{-\small{\dfrac{x}{2}}}$
$これを、自由度2の\chi ^2 分布といい、\chi _2 ^2 \ とあらわします。$
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