チェビシェフの多項式とミニマックス原理
チェビシェフの多項式
1 チェビシェフの多項式の定義
$\cos n\theta$を加法定理を用いて展開すると、$\cos \theta$の多項式で表される。
例えば
$\hspace{3em}\cos 2\theta=2\cos ^2\theta -1$
\begin{eqnarray*} \cos 3\theta &=&\cos 2\theta cos \theta - \sin 2\theta \sin \theta \hspace{34em} \\ &=&(2\cos ^2\theta -1)\cos \theta - 2\sin ^2\theta \cos \theta \\ &=&(2\cos ^2\theta -1)\cos \theta - 2(1-\cos ^2\theta \cos \theta \\ &=&4\cos ^3\theta -3\cos \theta \\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \cos 4\theta &=&2\cos ^22\theta -1 \hspace{39em} \\ &=&2(2\cos ^2\theta -1)^2-1 \\ &=&8\cos ^4\theta -8\cos ^2\theta +1 \\ \end{eqnarray*}
$一般に、\cos n\theta の展開式で、\cos \theta =x とおいて得られるxの多項式を$
$(第１種)チェビシェフの多項式といい、T_n(x)で表す。$
例えば
$\hspace{2em}T_1(x)=x,\ T_2(x)=2x^2-1,\ T_3(x)=4x^3-3x,\ T_4(x)=8x^4-8x^2+1$
2 チェビシェフの多項式の漸化式
加法定を用いて
$\quad \cos(n\theta + \theta)=\cos n\theta \cos \theta - \sin n\theta \sin \theta$
$\quad \cos(n\theta - \theta)=\cos n\theta \cos \theta + \sin n\theta \sin \theta$
の辺々を加えて
$\quad \cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta =2\cos n\theta \cos \theta$
したがって
$\quad T_{n+1}(x)+T_{n-1}(x)=2xT_n(x)$
$\hspace{3em} T_{n+1}(x)=2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$
\begin{eqnarray*} T_5(x)&=&2xT_4(x) - T_3(x) \hspace{27em}\\ &=&2x(8x^4-8x^2+1)-(4x^3-3x)\\ &=&16x^5-20x^3+5x\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} T_6(x)&=&2xT_5(x) - T_4(x) \hspace{27em}\\ &=&2x(16x^5-20x^3+5x)-(8x^4-8x^2+1)\\ &=&32x^6-48x^4+18x^2-1\\ \end{eqnarray*} $\hspace{10em} \vdots $
$なお、一般に \ T_n(x) \ が多項式になることは、数学的帰納法で示せばよい。$
3 チェビシェフの多項式の定義域と値域
$y=T_n(x)=\cos n\theta, \quad x=\cos \theta $ だから
$\hspace{2em} 定義域は -1 \leqq x \leqq 1 \hspace{2em} 値域は -1 \leqq y \leqq 1$
4 チェビシェフの多項式の対称性
$\hspace{2em} 性質 T_n(-x)=(-1)^nT_n(x)$
(証明)
$\hspace{3em}T_n(x)=\cos n\theta , \quad x=\cos \theta $ だから
\begin{eqnarray*} T_n(-x) &=&T_n(-\cos \theta) \hspace{30em}\\ &=&T_n(\cos(\pi-\theta))\\ &=&\cos n(\pi - \theta )\\ &=&\cos(n\pi - n\theta)\\ &=&(-1)\cos((n-1)\pi-n\theta)\\ &=&(-1)^2\cos((n-2)\pi-n\theta)\\ & &\hspace{2em}\vdots \\ &=&(-1)^n\cos(-n\theta)\\ &=&(-1)^n\cos n\theta \\ &=&(-1)^nT_n(x)\\ \end{eqnarray*}
これより
$\hspace{2em} T_n(x)は\quad n が奇数のときは奇関数,\quad nが偶数のときは偶関数$
5 チェビシェフの多項式の$x^n$の係数と定数項
$\hspace{2em} (1) \quad x^n \ の係数は 2^{n-1}$
$\hspace{2em} T_{n+1}(x)=2xT_n(x) - T_{n-1}(x) より$
$\hspace{2em} T_n(x) のx^n の係数を \ a_n \ とすると x^{n+1}$ の係数について
$\hspace{5em} a_{n+1}=2a_n$
$\quad よって$
$\hspace{3em} a_n=a_1 \times 2^{n-1}=1 \times 2^{n-1}=2^{n-1}$
$\hspace{2em} (2) \quad 定数項は$
$\hspace{4em}$ (i) $n が奇数のとき 0 \hspace{2em}$ (ii) $n が偶数のとき (-1)^{\frac{n}{2}}$
(証明)
(i) $n が奇数ならば T_n(x)$ は奇関数だから定数項はない。
(ii) $n$ が偶数ならば
$\hspace{2em} T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x) - T_n(x)$ より
$\hspace{2em} T_{n+2}(x) の定数項は - T_n(x)$ の定数項に等しい。
したがって
$\hspace{3em} T_2(x) の定数項は -1 だから$
$\hspace{3em} T_4(x) の定数項は (-1)^2$
$\hspace{3em} T_6(x) の定数項は (-1)^3$
$\hspace{4em} \vdots$
$\hspace{3em} T_n(x) の定数項は (-1)^{\frac{n}{2}}$
6 チェビシェフの多項式 $\ T_n(x)=0 \ $ の解
$\hspace{2em} \cos n\theta=T_n(x) , \quad x=\cos \theta$ より
$\hspace{2em} T_n(x)=0 の解は \cos n \theta =0 \quad n\theta = k\pi + \cfrac{\pi}{2} \quad \therefore \theta=\cfrac{(2k+1)\pi}{2n}$
$\quad T_n(x)=0 の解は$
$\hspace{3em} x=\cos \cfrac{1}{2n}\pi,\ \cos \cfrac{3}{2n}\pi,\ \cdots , \ \cos \cfrac{2n-1}{2n}\pi $
$\hspace{2em} T_n(x)=0 \ はn次方程式だから一般に高々n個の解をもつが、解はn個あるからこれですべての解である。$
7 チェビシェフの多項式$\quad T'_n(x)=0$ の解
\begin{eqnarray*} T'_n(x) &=&\cfrac{dT_n}{d\theta}・\cfrac{d\theta}{dx} \hspace{30em}\\ &=&\cfrac{dT_n}{d\theta}・\cfrac{1}{\cfrac{dx}{d\theta}}\\ &=&-n\sin n\theta \times \cfrac{1}{-\sin \theta}\\ &=&\cfrac{n\sin n\theta}{sin \theta}\\ \end{eqnarray*} $\hspace{2em}\sin n\theta =0 より n\theta =k\pi \quad \therefore \theta = \cfrac{k}{n}\pi$
$\quad T'_n(x)=0 の解は$
$\hspace{3em} x=\cos \cfrac{1}{n}\pi,\ \cos \cfrac{2}{n}\pi,\ \cdots , \ \cos \cfrac{n-1}{n}\pi $
$\hspace{2em} T'_n(x)=0 \ は(n-1)次方程式だから一般に高々(n-1)個の解をもつが、解は(n-1)個$
$\hspace{2em} あるから、これですべての解である。$
8 ミニマックス原理
$\hspace{2em} f_n(x)=2^{n-1}x^n+a_1x^{n-1}+ \cdots +a_n の -1 \leqq x \leqq 1 における偏差 \ d \ は$
$\hspace{3em} d \geqq 1 である。ただし等号は f_n(x)=T_n(x) のときである。$
$\hspace{2em} 2次式、3次式、4次式について証明してありますので、ここでは一般のn次式について成りたつことを証明します。$
$(前半の証明)$
まずいくつかの値を求める。
$\hspace{2em}x=1\ となる \ \theta \ は \ cos \theta =1 \ より \ \theta=2k\pi$
よって
$\hspace{2em} T_n(1)=\cos n2k\pi=1$
$\quad x=-1 \ となる \ \theta \ は \ cos \theta =-1 \ より \ \theta=(2m+1)\pi$
よって
$\hspace{2em} T_n(-1)=\cos n(2m+1)\pi=\cos n\pi=(-1)^n$
$\quad T'_n(x)=0 \ の解 \ x=\cos \cfrac{1}{n}\pi,\ \cos \cfrac{2}{n}\pi,\cdots , \cos \cfrac{n-1}{n}\pi \ を順に x_1,\ x_2, \cdots , x_{n-1} \ とすると$
$\hspace{2em} x_i=\cos \cfrac{i}{n}\pi,\quad x_{i+1}=\cos \cfrac{i+1}{n}\pi$ で
$\hspace{2em} T_n(x_i)=\cos n・\cfrac{i}{n}\pi=\cos i\pi=(-1)^i$
$\hspace{2em} T_n(x_{i+1})=\cos n・\cfrac{i+1}{n}\pi=\cos (i+1)\pi=-(-1)^i$
となって、$T_n(x_i) は 1 と -1$ を交互にとる。
以上の準備のもとに、背理法で示す。
$\quad -1 \leqq x \leqq 1 で d < 1 すなわち max|f_n(x)| < 1$ とすると
$\hspace{2em} f_n(x)-1 < 0 , \quad f_n(x)+1 >0$
$\hspace{2em}F(x)=f_n(x)-T_n(x) を考える。$
$\quad F(1)=f_n(1)-T_n(1)=f_n(1)-1 < 0$
$\quad F(x_1)=f_n(x_1)-T_n(x_1)=f_n(x_1)+1 > 0$
$\quad F(x_2)=f_n(x_2)-T_n(x_2)=f_n(x_2)-1 < 0$
$\hspace{2em} \vdots$
$となり、F(x)は -1 \leqq x \leqq 1 の (n+1)個の点で符号が入れ変わるから、$
$中間値の定理より F(x)=0 はこの区間でn個以上の解をもつ。$
$ところが、F(x)=0 は(n-1)次方程式だから高々(n-1)個の解しかもたない。$
これは矛盾である。
$したがって、 d \geqq 1 すなわち max|f_n(x)| \geqq 1 である。$
(後半の証明)
$\quad d=1 すなわち max|f_n(x)|=1 ならば |f_n(x)| \leqq 1 だから -1 \leqq f_n(x) \leqq 1$
よって
$\hspace{2em} f_n(x)-1 \leqq 0, \quad f_n(x)+1 \geqq 0$
$再び F(x)=f_n(x)-T_n(x) \ を考える。$
$\quad F(1)=f_n(1)-T_n(1)=f_n(1)-1 \leqq 0$
$\quad F(x_1)=f_n(x_1)-T_n(x_1)=f_n(x_1)+1 \geqq 0$
$\quad F(x_2)=f_n(x_2)-T_n(x_2)=f_n(x_2)-1 \leqq 0$
$\hspace{2em} \vdots$
これら$(n+1)$個の式が
(i) すべて等号が成りたたないならば上の証明で矛盾することがわかった。
(ii)すべて等号が成りたつならば
$\quad F(x)=0 は異なるn個の解 x_1,\ x_2, \cdots , x_n をもち F(x)\ は \ (n-1)次式だから$
$\hspace{2em} F(x)=a_0x^{n-1}+a_1x^{n-2}+\cdots + a_{n-2}x+a_{n-1} とおくと$
\[ \left\{ \begin{array}{l} F(x_1)=a_0x_1^{n-1}+a_1x_1^{n-2}+ \cdots + a_{n-2}x_1+a_{n-1}=0 \hspace{18em}\\ F(x_2)=a_0x_2^{n-1}+a_1x_2^{n-2}+ \cdots + a_{n-2}x_2+a_{n-1}=0\\ \hspace{4em} \vdots\\ F(x_n)=a_0x_n^{n-1}+a_1x_n^{n-2}+ \cdots + a_{n-2}x_n+a_{n-1}=0\\ \end{array}\right. \] $となるので、これを行列で表すと$
\[ \left( \begin{array}{cccc} a_0 &a_1 & \cdots& a_{n-1}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\\ x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ 1 & 1 & \cdots & 1\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{array} \right) \hspace{13em} \]
$上の行列を順に A,\ X, O \ と表す。$
$\quad det X= \left| X \right| \ はファンデルモンド(ヴァンデルモンドともいう)の行列式とよばれ $
\[\left| X \right| =\prod_{1 \leqq i \leqq j \leqq n} (x_j-x_i) \hspace{24em}\]
$\quad x_i \neq x_j だから \left| X \right| \neq 0 したがって X の逆行列 X^{-1} が存在するから$
$\quad AX=O の右から X^{-1} をかけると A=O$
すなわち
$\hspace{2em} a_0=a_1= \cdots = a_{n-1}=0 となり F(x) \equiv 0$
したがって $f_n(x) \equiv T_n(x)$
(iii) $\quad$ (i),(ii) 以外の場合
$\quad ある\ i \ が存在して x_i で F(x_i)=0$
$\quad もともと F'(x_i)=0 だから F(x) \ は \ (x-x_i)^2 \ を因数にもつ。$
$\quad すなわち \quad F(x)=0 は (x_{i-1},x_{i+1}) で x_i \ を重解にもつから、合計n個の解をもつことになり、$
$\quad やはり矛盾する。$
以上より (ii)のみが成りたち、
$\hspace{3em} F(x) \equiv 0 すなわち f_n(x) \equiv T_n(x)$ がいえる。
$\hspace{2em} 結論 T_n(x)は他のどうのような多項式と比べても、偏差は最小である。$
$\hspace{4em} これを、ミニマックス性といいます。$
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