定積分の変数変換(一般)
$x,\ y\ が \ u,\ v\ の \ C^1\ 級関数として \ \ x=x(u,\ v),\ y=y(u,\ v)\ と表され、点(u,\ v)\ から点(x,\ y)\ へは \ 1\ 対 \ 1\ 対応とする。$
$また、u,\ v\ が \ x,\ y\ の \ C^1\ 級関数として \ \ u=u(x,\ y),\ v=v(x,\ y)\ と表され、点(x,\ y)\ から点(u,\ v)\ へは \ 1\ 対 \ 1\ 対応$
$とする。この対応で \ xy\ 平面での有界な領域 \ D\ が \ uv\ 平面の有界な領域 \ E\ に写される。$
$Eの小領域 \ E_i\ は、領域Dのn\ 個に分割された小領域 \ D_i\ \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\ に対応する。$
$今、領域 \ E_i\ は \ A(u,\ v),\ B(u+\Delta u,\ v),\ C(u,\ v+\Delta v),\ D(u+\Delta u,\ v+\Delta v)\ を頂点とする長方形とする。$
$このとき領域 \ D_i\ は曲線で囲まれた領域となるが、\Delta u,\ \Delta v\ が微小のときは平行四辺形 \ PQSR\ と考えてよい。$
$\hspace{10em} uv \ 平面 \hspace{23em} xy\ 平面$
$各頂点の座標は \quad P(x(u,\ v),\ y(u,\ v)),\qquad Q(x(u+\Delta u,\ v),\ y(u+\Delta u,\ v))$
$R(x(u,\ v+\Delta v),\ y(u,\ v+\Delta v)),\qquad S(x(u+\Delta u,\ v+\Delta v),\ y(u+\Delta u,\ v+\Delta v))$
$したがって \ \ D_i,\ E_i\ の面積をそれぞれ \ \ \mu(D_i),\ \mu(E_i)\ \ とすると$
\begin{eqnarray*} \vec{PQ} &=&\vec{OQ}-\vec{OP}\\ \\ &=&(x(u+\Delta u,\ v),\ y(u+\Delta u,\ v))-(x(u,\ v),\ y(u,\ v))\\ \\ &=&(x(u+\Delta u,\ v)-x(u,\ v),\ y(u+\Delta u,\ v)- y(u,\ v))\\ \\ &\fallingdotseq & \big(\cfrac{\partial x}{\partial u} \Delta u , \cfrac{\partial y}{\partial u} \Delta u \big)\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \vec{PR} &=&\vec{OR}-\vec{OP}\\ \\ &=&(x(u,\ v+\Delta v),\ y(u ,v+ \ \Delta v)-(x(u,\ v),\ y(u,\ v))\\ \\ &=&(x(u,\ v+\Delta v)-x(u,\ v),\ y(u,\ v+ \Delta v)- y(u,\ v))\\ \\ &\fallingdotseq & \big(\cfrac{\partial x}{\partial v} \Delta v , \cfrac{\partial y}{\partial v} \Delta v \big)\\ \end{eqnarray*}
$よって$
\begin{eqnarray*} \mu(D_i) &\fallingdotseq & 平行四辺形PQSR\\ \\ &=&\big |\cfrac{\partial x}{\partial u} \Delta u \times \cfrac{\partial y}{\partial v} \Delta v - \cfrac{\partial x}{\partial v} \Delta v \times \cfrac{\partial y}{\partial u} \Delta u \big |\\ \\ &=&\big |\cfrac{\partial x}{\partial u} \cfrac{\partial y}{\partial v} - \cfrac{\partial x}{\partial v} \cfrac{\partial y}{\partial u} \big |\Delta u \Delta v\\ \end{eqnarray*}
$ここで、J(u,v)=\cfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} =\cfrac{\partial x}{\partial u} \cfrac{\partial y}{\partial v} - \cfrac{\partial x}{\partial v} \cfrac{\partial y}{\partial u} \quad とおいて \ \ (x,\ y)\ の \ (u,\ v)\ に対するヤコビアン(関数行列式)といいます。$
$この記号を用いると \quad \mu(D_i)=|J(u,v)|\Delta u \Delta v =|J(u,v)|\mu(E_i)$
$これらの分割された小領域のすべての和をとると$
\[\quad \sum _{i=1}^n f(x_i,y_i)\mu(D_i) \fallingdotseq \sum _{i=1}^n f(x_i(u,v),y_i(u,v))|J(u,v)|\mu(E_i)\]
$n \longrightarrow \infty \quad としてすべての分割をかぎりなく細かくすると \ 2\ 重積分の定義から$
\[\quad \iint_D f(x,y)dxdy=\iint _E f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv\]
$定積分の変数変換の公式$
\[\qquad \iint_D f(x,y)dxdy=\iint _E f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv\]
$上のことは、一般に \ n\ 変数の場合に拡張できます。$
$x_1,\ x_2,\ \cdots \ x_n \ が \ u_1,\ u_2,\ \cdots \ u_n \ の \ C^1\ 級関数として \quad x_i=x_i(u_1,\ u_2,\ \cdots ,\ u_n) \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots ,\ n)\ \ と表され、$
$逆に \quad u_1,\ u_2,\ \cdots \ u_n \ が \ x_1,\ x_2,\ \cdots \ x_n \ の \ C^1\ 級関数として \ \ u_i=u_i(x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_n) \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots ,\ n)\ \ と表され、$
$これらの対応が \ 1\ 対 \ 1\ 対応ならば$
\[ J(u_1,\ u_2,\ \cdots,\ u_n)=\cfrac{\partial (x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_n)}{\partial (u_1,\ u_2,\ \cdots,\ u_n)}= \left| \begin{array}{ccc} \cfrac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial u_2} & \cdots & \cfrac{\partial x_1}{\partial u_n} \\ \hspace{5em} \vdots \\ \cfrac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cfrac{\partial x_n}{\partial u_2} & \cdots & \cfrac{\partial x_n}{\partial u_n} \\ \end{array} \right| \quad とおくと \]
\[\iint \cdots \int _D f(x_1,x_2,\cdots,x_n)dx_1dx_2 \cdots dx_n= \iint \cdots \int _E f(x_1,x_2,\cdots,x_n)|J(u_1,u_2,\cdots ,u_n)|du_1du_2 \cdots du_n\]
$例えば \ 3\ 次元空間で$
$x=r\sin \theta \cos \varphi,\ y=r\sin \theta \sin \varphi ,\ z=r\cos \theta \ \ と変換すると$
\[ J(r,\ \theta , \ \varphi )=\cfrac{\partial (x,\ y,\ z)}{\partial (r,\ \theta,\ \varphi)}= \left| \begin{array}{ccc} \cfrac{\partial x}{\partial r} & \cfrac{\partial x}{\partial \theta } & \cfrac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \cfrac{\partial y}{\partial r} & \cfrac{\partial y}{\partial \theta } & \cfrac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \cfrac{\partial z}{\partial r} & \cfrac{\partial z}{\partial \theta } & \cfrac{\partial z}{\partial \varphi} \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \varphi & r\cos \theta \cos \varphi & -r\sin \theta \sin \varphi\\ \sin \theta \sin \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & r\sin \theta \cos \varphi\\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \end{array} \right| =r^2\sin \theta \\ \] \[\iiint _D f(x,y,z)dxdydz=\iiint _E f(r\sin \theta \cos \varphi,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta)r^2\sin \theta drd\theta d \varphi \]
$これは$球面座標による極座標$で求めた公式そのものです$
$例$
$4\ つの曲線 \ \ x^2=ay,\ \ x^2=by,\ \ y^2=cx,\ \ y^2=dx \ \ (0 < a < b,\ \ 0 < c < d)\ \ で囲まれる領域の面積$
$このままでも積分できますが、ここでは変数変換して求めます。$
$u(x,\ y)=\cfrac{x^2}{y},\quad v(x,\ y)=\cfrac{y^2}{x}\quad と変換すると$
$uv=\cfrac{x^2}{y} \times \cfrac{y^2}{x}=xy,\qquad \cfrac{u}{v}=\cfrac{x^2}{y} \times \cfrac{x}{y^2}=\cfrac{x^3}{y^3}$
$\therefore \ \ \cfrac{x}{y}=u^{\scriptsize{\cfrac{1}{3}}}v^{-\scriptsize{\cfrac{1}{3}}}$
$xy \times \cfrac{x}{y}=uv \times u^{\scriptsize{\cfrac{1}{3}}}v^{-\scriptsize{\cfrac{1}{3}}}, \qquad x^2=u^{\scriptsize{\cfrac{4}{3}}}v^{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}}$
$よって \quad x=u^{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}}v^{\scriptsize{\cfrac{1}{3}}},\quad y=\cfrac{uv}{x}=uv \times u^{-\scriptsize{\cfrac{2}{3}}}v^{-\scriptsize{\cfrac{1}{3}}}=u^{\scriptsize{\cfrac{1}{3}}}v^{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}}$
\[
J(u,\ v)=
\left|
\begin{array}{ccc}
\cfrac{\partial x}{\partial u} & \cfrac{\partial x}{\partial v} \\
\cfrac{\partial y}{\partial u} & \cfrac{\partial y}{\partial v} \\
\end{array}
\right|
=
\left|
\begin{array}{ccc}
\cfrac{2}{3}u^{-\scriptsize{\cfrac{1}{3}}}v^{\scriptsize{\cfrac{1}{3}}} & \cfrac{1}{3}u^{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}}v^{-\scriptsize{\cfrac{2}{3}}}\\
\cfrac{1}{3}u^{-\scriptsize{\cfrac{2}{3}}}v^{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}} & \cfrac{2}{3}u^{\scriptsize{\cfrac{1}{3}}}v^{-\scriptsize{\cfrac{1}{3}}}\\
\end{array}
\right|
=\cfrac{4}{9}-\cfrac{1}{9}=\cfrac{1}{3}
\]
$この変換によって \quad x^2=ay,\ x^2=by\ \ はそれぞれ \ \ u=a,\ u=b$
$y^2=cx,\ y^2=dx \ \ はそれぞれ \ \ v=c,\ v=d\ \ に写されるから$
$求める領域の面積は$
\[\iint_D dxdy=\iint_E |J|dudv=\iint_E \cfrac{1}{3}dudv=\cfrac{1}{3}(b-a)(d-c)\]
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