定積分の空間極座標への変数変換



　 $空間極座標(球面座標ともいいます)は右図のとおりで$
$点 \ P(x,\ y,\ z)\ を \ (r,\ \theta,\ \varphi)\ を用いて次のように表されます。$
\[\qquad \left\{ \begin{array}{l} x=r\sin \theta \cos \varphi \\ y=r\sin \theta \sin \varphi \\ z=r\cos \theta \\ \end{array} \right. \] $ただし　r >0 ,\ \ 0 \leqq \theta \leqq \pi , \ \ 0 \leqq \varphi < 2\pi $

$\theta,\ \varphi \ \ を一定にして、r\ を変化させて得られる曲線を \ r\ 曲線、$
$r,\ \varphi \ \ を一定にして、\theta \ を変化させて得られる曲線を \ \theta \ 曲線$
$r,\ \theta \ \ を一定にして、\varphi \ を変化させて得られる曲線を \ \varphi \ 曲線といいます。$

　
$\ \ \boldsymbol {r}=(x,y,z) \ \ とすると$

$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial r}=(\sin \theta \cos \varphi,\ \sin \theta \sin \varphi, \ \cos \theta )$

$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \theta}=(r\cos \theta \cos \varphi,\ r\cos \theta \sin \varphi , \ -r\sin \theta )$

$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \varphi}=(-r\sin \theta \sin \varphi,\ r\sin \theta \cos \varphi , \ 0)$

$したがって$

$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial r} \cdot \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \theta}=r\sin \theta \cos \theta \cos ^2 \varphi +r\sin \theta \cos \theta \sin ^2 \varphi -r\sin \theta \cos \theta =r\sin \theta \cos \theta -r\sin \theta \cos \theta =0$

$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \theta} \cdot \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \varphi}=-r^2\sin \theta \cos \theta \sin \varphi \cos \varphi +r^2\sin \theta \cos \theta \sin \varphi \cos \varphi =0$

$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \varphi} \cdot \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial r}=-r\sin ^2\theta \sin \varphi \cos \varphi +r\sin ^2\theta \cos \varphi \sin \varphi =0$

$よって \quad r\ 曲線、\ \theta \ 曲線、\ \varphi \ 曲線の接線ベクトルは互いに垂直です。$


$xyz\ 空間での領域 \ D\ 内の点 \ (x,\ y,\ z)\ と \ x=r\sin \theta \cos \varphi,\ y=r\sin \theta \sin \varphi ,\ z=r\cos \theta $
$ (r > 0,\ 0 \leqq \theta \leqq \pi,\ 0 \leqq \varphi \leqq 2\pi)\ \ と変数変換した空間極座標で表された領域 \ E\ 内の点が$
$1\ 対 \ 1\ に対応するとき$
\[\qquad \iiint_D f(x,y,z)dxdydz=\iiint_{E}f(r\sin \theta \cos \varphi,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )r^2 \sin \theta dr d\theta d\varphi\]


$(証明1)$

　
$関数 \ f(x,\ y,\ z)\ の \ xyz\ 空間での積分領域 \ D\ 内の点 \ (x,\ y,\ z)\ の極座標での$

$対応点を \ P(r,\ \theta,\ \varphi)\ とし、Q(r,\ \theta +d\theta,\ \varphi),\ R(r,\ \theta,\ \varphi +d\varphi), \ S(r+dr,\ \theta ,\ \varphi)、$

$点 \ P,\ R\ の \ xy\ 平面への射影をそれぞれ \ T.\ U \ とおくと$

$PS=dr,\ \ 弧 \ PQ=rd\theta ,\ \ OT=r\sin \theta \quad だから$

$弧 \ PR=弧 \ TU=r\sin \theta d\varphi$

$図の微小領域の体積は$

$dV \fallingdotseq PS \times PQ \times PR==dr \times rd\theta \times r\sin \theta d\varphi=r^2\sin \theta dr d\theta d\varphi$


$ベクトル解析の考え方をつかって、もう少し数学的に証明しましょう。$

$(証明2)$

$r\ 曲線の線素(弧長) \ \ ds_1 \ \ は \ \theta , \ \ \varphi \ が一定だから$
\begin{eqnarray*} ds_1 ^2 &=&dx ^2+dy ^2 +dz ^2\\ &=&\big(\cfrac{\partial x}{\partial r}dr \big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial r}dr \big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial r}dr \big)^2\\ \\ &=&\left \{\big(\cfrac{\partial x}{\partial r}\big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial r} \big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial r} \big)^2\right \}dr ^2\\ \\ &=&\big((\sin \theta \cos \varphi)^2+(\sin \theta \sin \varphi )^2+\cos ^2 \theta \big)dr ^2\\ \\ &=&(\sin ^2\theta (\cos ^2 \varphi + \sin ^2\varphi )+\cos ^2 \theta )dr ^2\\ \\ &=&r^2 \end{eqnarray*} $\therefore ds_1=r$

$\theta 曲線の線素(弧長) \ \ ds_2 \ \ は \ r , \ \varphi \ が一定だから$
\begin{eqnarray*} ds_2 ^2 &=&dx ^2+dy ^2 +dz ^2\\ \\ &=&\big(\cfrac{\partial x}{\partial \theta}d \theta \big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial \theta} d \theta \big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial \theta} d \theta \big)^2\\ \\ &=&\big\{\big(\cfrac{\partial x}{\partial \theta}\big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial \theta} \big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial \theta} \big)^2 \big\} d \theta ^2\\ \\ &=&\{(r\cos \theta \cos \varphi)^2+(r\cos \theta \sin \varphi )^2+(-r\sin \theta)^2 \}d \theta ^2\\ \\ &=&\{r^2\cos ^2 \theta (\cos \varphi ^2 + \sin ^2 \varphi )+ r^2\sin ^2 \theta \}d \theta ^2\\ \\ &=&r^2d \theta ^2\\ \end{eqnarray*}
$\therefore ds_2=rd \theta$

$\theta 曲線の線素(弧長) \ \ ds_3 \ \ は \ r , \ \theta \ が一定だから$
\begin{eqnarray*} ds_3 ^2 &=&dx ^2+dy ^2 +dz ^2\\ \\ &=&\big(\cfrac{\partial x}{\partial \varphi}d \varphi \big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial \varphi} d \varphi \big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial \varphi} d \varphi \big)^2\\ \\ &=&\big\{\big(\cfrac{\partial x}{\partial \varphi}\big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial \varphi} \big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial \varphi} \big)^2 \big\} d \varphi ^2\\ \\ &=&\{(-r\sin \theta \sin \varphi)^2+(r\sin \theta \cos \varphi )^2 \}d \varphi ^2\\ \\ &=&\{r^2\sin ^2 \theta (\sin \varphi ^2 + \cos ^2 \varphi ) \}d \varphi ^2\\ \\ &=&r^2\sin ^2\theta d \varphi ^2\\ \end{eqnarray*}
$\therefore ds_3=r\sin \theta d\varphi$

$よって 点P(x,\ y,\ z)\ における小領域の体積 \ dV\ は$

$\quad dV=ds_1ds_2ds_3=dr \times rd\theta \times rd\theta d\varphi=r^2\sin \theta dr d\theta d\varphi$


　

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