ヘルダーの不等式
\[a_i>0,\ \ b_i>0 \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n ),\ \ p>0,\ \ q>0,\ \ \cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{q} \ \ のとき \quad \sum_{i=1}^n a_ib_i \leqq (\sum _{i=1}^n a_i^p)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot (\sum _{i=1}^n b_i^q)^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}}\]
$\qquad 等号は \quad \cfrac{a_1^p}{b_1^q}= \cfrac{a_2^p}{b_2^q}= \cdots = \cfrac{a_n^p}{b_n^q} \quad のとき$
$(証明)$
$ヤングの不等式から導いた次の不等式$
$\quad a > 0,\ \ b > 0,\ \ p > 0,\ \ q > 0,\ \ \cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{q}=1 \quad のとき \quad \cfrac{a^p}{p}+\cfrac{b^q}{q} \geqq ab \qquad 等号は \quad a^p=b^q \quad のとき$
$\quad (このことについては$ $不等式 \cfrac{a^p}{p}+\cfrac{b^q}{q} \geqq ab$ $をご覧ください。)$
\[において \quad a=\dfrac{a_i}{(\sum _{i=1}^n a_i^p)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}},\quad b=\dfrac{b_i}{(\sum _{i=1}^n b_i^q)^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}}} \quad とおくと\] \[\cfrac{1}{p}\cfrac{a_i^p}{\sum _{i=1}^n a_i^p} + \cfrac{1}{q}\cfrac{b_i^q}{\sum_{i=1}^n b_i^q} \geqq \cfrac{a_ib_i}{(\sum _{i=1}^n a_i^p)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot (\sum _{i=1}^n b_i^q)^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}}}\] $i=1,\ 2,\ \cdots,\ n \ \ とおいてこれらの式の辺々を加えると$
\[\cfrac{1}{p}\cfrac{\sum _{i=1}^n a_i^p}{\sum _{i=1}^n a_i^p} + \cfrac{1}{q}\cfrac{\sum _{i=1}^n b_i^q}{(\sum_{i=1}^n b_i^q} \geqq \cfrac{\sum_{i=1}^n a_ib_i}{(\sum _{i=1}^n a_i^p)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot (\sum _{i=1}^n b_i^q)^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}}}\] \[\cfrac{1}{p} + \cfrac{1}{q} \geqq \cfrac{\sum_{i=1}^n a_ib_i}{(\sum _{i=1}^n a_i^p)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot (\sum _{i=1}^n b_i^q)^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}}}\] \[1 \geqq \cfrac{\sum_{i=1}^n a_ib_i}{(\sum _{i=1}^n a_i^p)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot (\sum _{i=1}^n b_i^q)^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}}}\] \[\therefore \ \ \sum_{i=1}^n a_ib_i \leqq (\sum _{i=1}^n a_i^p)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot (\sum _{i=1}^n b_i^q)^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}}\]
$等号は$
\[\quad \cfrac{a_i^p}{\sum _{i=1}^n a_i^p} =\cfrac{b_i^q}{\sum_{i=1}^n b_i^q} \hspace{3em} すなわち \quad \cfrac{a_i^p}{b_i^q}=\cfrac{\sum _{i=1}^n a_i^p}{\sum_{i=1}^n b_i^q} \quad 右辺は \ i\ によらないから\] $\quad \cfrac{a_1^p}{b_1^q}= \cfrac{a_2^p}{b_2^q}= \cdots = \cfrac{a_n^p}{b_n^q} \quad のとき$
$とくに \quad p=q=2 \quad とおくと$
\[\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqq (\sum _{i=1}^n a_i^2)^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \cdot (\sum _{i=1}^n b_i^2)^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \qquad 両辺平方して \quad \big(\sum_{i=1}^n a_ib_i\big)^2 \leqq \sum _{i=1}^n a_i^2 \cdot \sum _{i=1}^n b_i^2\] $すなわち \qquad (a_1b_1+a_2b_2+ \cdots a_nb_n)^2 \leqq (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$
$これはコーシー・シュワルツの不等式である。$
$\quad (これについては$ コーシー・シュワルツの不等式$をご覧ください。)$
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