コーシー・シュワルツの不等式
$\hspace{5em} 積分形のコーシー・シュワルツの不等式は($コーシー・シュワルツの不等式(積分形)$)をご覧ください。$
$(1)\ \ 2\ 文字の場合$
$\qquad (a^2+b^2)(x^2+y^2) \geqq (ax+by)^2 \qquad 等号は \quad \cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y} \quad のとき$
$(証明)$
\begin{eqnarray*} & &(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\\ \\ &=&a^2y^2+b^2x^2-2abxy\\ \\ &=&(ay-bx)^2\\ \\ &\geqq&0 \end{eqnarray*}
$等号は、ay=bx \quad すなわち \quad \cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y} \quad のとき$
$(2)\ \ 3\ 文字の場合$
$\qquad (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2 \qquad 等号は \quad \cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y}=\cfrac{c}{z} \quad のとき$
$(証明1)$
\begin{eqnarray*} & &(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2\\ \\ &=&a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2abxy-2bcyz-2cazx\\ \\ &=&(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(az-cx)^2\\ \\ &\geqq&0 \end{eqnarray*} $等号は、ay=bx ,\ \ bz=cy,\ \ az=cx \quad すなわち \quad \cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y}=\cfrac{c}{z} \quad のとき$
$(証明2)$
$任意の実数 \ t\ に対して、f(t)=(at+x)^2+(bt+y)^2+(ct+z)^2 \geqq 0 \quad だから$
$f(t)=(a^2+b^2+c^2)t^2+2(ax+by+cz)t+x^2+y^2+z^2 \geqq 0$
$これが成りたつ条件は \ \ f(t)=0 \ \ の判別式 \ D\ が \quad D \leqq 0 \quad だから$
$\cfrac{D}{4}=(ax+by+cz)^2-(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \leqq 0$
$等号は、at+x=0,\ \ bt+y=0,\ \ ct+z=0 \quad すなわち \quad -\cfrac{1}{t}=\cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y}=\cfrac{c}{z} \quad のとき$
$(3)\ \ n\ 文字の場合$
$(a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+ \cdots + b_n^2) \geqq (a_1b_1+a_2b_2+ \cdots + a_nb_n)^2 \qquad 等号は \quad \cfrac{a_1}{b_1}=\cfrac{a_2}{b_2}= \cdots =\cfrac{a_n}{b_n} \quad のとき$
$(証明)$
$任意の実数 \ t\ に対して、f(t)=(a_1t+b_1)^2+(a_2t+b_2)^2+\cdots +(a_nt+b_n)^2 \geqq 0 \quad だから$
$f(t)=(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)t^2+2(a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n)t+b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2 \geqq 0$
$これが成りたつ条件は \ \ f(t)=0 \ \ の判別式 \ D\ が \quad D \leqq 0 \quad だから$
$\cfrac{D}{4}=(a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n)^2 -(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2) \leqq 0$
$等号は、a_1t+b_1=0,\ \ a_2t+b_2=0,\ \ \cdots ,\ \ a_nt+b_n=0 \quad すなわち \quad -\cfrac{1}{t}= \cfrac{a_1}{b_1}=\cfrac{a_2}{b_2}= \cdots =\cfrac{a_n}{b_n} \quad のとき$
$例1$
$b_1=b_2=\cdots =b_n=1 \quad とおくと$
$(a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(1^2+1^2+ \cdots + 1^2) \geqq (a_1 \cdot 1+a_2 \cdot 1+ \cdots + a_n \cdot 1)^2$
$n(a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2) \geqq (a_1 +a_2 + \cdots + a_n )^2$
$両辺を \ n^2\ で割って$
$\cfrac{a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2}{n} \geqq \big(\cfrac{a_1 +a_2 + \cdots + a_n }{n}\big)^2$
$これは、チェビシェフの不等式 \ (n\ 文字の場合)\ の拡張 \ 2\ の(2)式に一致する。$
$\quad このことについては $ チェビシェフの不等式 (n 文字の場合)$をご覧ください。$
$例2$
$(a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(\cfrac{1}{a_1^2} + \cfrac{1}{a_2^2}+ \cdots + \cfrac{1}{a_n^2}) \geqq n^2$
$(証明)$
$b_1=\cfrac{1}{a_1},\ \ b_2=\cfrac{1}{a_2},\ \ \cdots ,\ \ b_n=\cfrac{1}{a_n} \quad とおくと$
$(a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(\cfrac{1}{a_1^2} + \cfrac{1}{a_2^2}+ \cdots + \cfrac{1}{a_n^2}) \geqq (a_1 \cdot \cfrac{1}{a_1} + a_2 \cdot \cfrac{1}{a_2}+ \cdots + a_n \cdot \cfrac{1}{a_n})^2=n^2$
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