チェビシェフの不等式 (n文字の場合)
$a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n>0 ,\quad b_1 \geqq b_2 \geqq \cdots \geqq b_n > 0\ \ のとき$
$\qquad \cfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n} \cdot \cfrac{b_1+b_2+\cdots + b_n}{n} \leqq \cfrac{a_1b_1+a_2b_2+ \cdots + a_nb_n}{n}$
$\qquad 等号は \ \ a_i=a_j \ \ または \ \ b_i=b_j \ \ のとき$
$(証明1)$
$n(a_1b_1+a_2b_2+ \cdots + a_nb_n)-(a_1+a_2+\cdots + a_n)(b_1+b_2+\cdots + b_n) \geqq 0 \quad であることを数学的帰納法で示す。$
$A_n=a_1+a_2+\cdots + a_n ,\quad B_n=b_1+b_2+\cdots + b_n,\quad C_n=a_1b_1+a_2b_2+ \cdots + a_nb_n \quad とおくと$
(i)$\ \ n=2 \ \ のとき \qquad 2文字の場合で示してあります。$
(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \quad kC_k-A_kB_k \geqq 0 \quad このとき$
\begin{eqnarray*} & &(k+1)C_{k+1}-A_{k+1}B_{k+1}\\ \\ &=&(k+1)(C_k+a_{k+1}b_{k+1})-(A_k+a_{k+1})(B_k+b_{k+1})\\ \\ &=&(kC_k-A_kB_k) + ka_{k+1}b_{k+1}+ C_k -A_kb_{k+1}-a_{k+1}B_k\\ \\ &\geqq & ka_{k+1}b_{k+1}+ C_k -A_kb_{k+1}-a_{k+1}B_k\\ \\ &=&\cfrac{1}{k}( kC_k -kA_kb_{k+1}-ka_{k+1}B_k + k^2a_{k+1}b_{k+1})\\ \\ &\geqq&\cfrac{1}{k}(A_kB_k -kA_kb_{k+1}-ka_{k+1}B_k + k^2a_{k+1}b_{k+1})\\ \\ &=&\cfrac{1}{k}(A_k-ka_{k+1})(B_k -kb_{k+1})\\ \\ &=&\cfrac{1}{k}(a_1+a_2+ \cdots +a_k-ka_{k+1})(b_1+b_2+\cdots +b_k -kb_{k+1})\\ \\ &=&\cfrac{1}{k}\big\{(a_1-a_{k+1})+(a_2-a_{k+1})+ \cdots +(a_k-a_{k+1})\big\}\big\{(b_1-b_{k+1})+(b_2-b_{k+1})+\cdots +(b_k -b_{k+1})\big\}\\ \\ &\geqq&0 \end{eqnarray*} $よって\ \ n=k+1\ \ のときも成りたつ。$
(i),(ii)$\ \ より \ n \geqq 2\ \ のすべての自然数 \ n\ について成りたつ。$
$両辺を \ n^2 \ で割って$
$\quad \cfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n} \cdot \cfrac{b_1+b_2+\cdots + b_n}{n} \leqq \cfrac{a_1b_1+a_2b_2+ \cdots + a_nb_n}{n} \hspace{5em}(1)$
$(証明2)$
$i,\ j=1,\ 2,\ \cdots , \ n\ \ において \ \ i \ne j \ \ のとき \ \ a_i-a_j \ \ と \ \ b_i-b_j \ \ は同符号だから$
$(a_i-a_j)(b_i-b_j) \geqq 0 \qquad \therefore \ \ a_ib_i+a_jb_j \geqq a_ib_j+a_jb_i$
$このような不等式が全部で \quad _nC_2=\cfrac{n(n-1)}{2}\ \ 通りあるからそれらをすべて加えると$
\[\sum _{i=j} (a_ib_i+a_jb_j) \geqq \sum _{i \ne j}(a_ib_j+a_jb_i)\] \[( n-1)\sum _{i=1}^n a_ib_i \geqq \sum _{i \ne j}(a_ib_j+a_jb_i)\] \[両辺に \quad \sum _{i=1}^n a_ib_i \quad を加えて\] \[n\sum _{i=1}^n a_ib_i \geqq \sum _{i=1}^n a_ib_i + \sum _{i \ne j}(a_ib_j+a_jb_i)=\big(\sum _{i=1}^n a_i \big)\big(\sum _{j=1}^n b_j \big)\]
$(拡張1)$
$(1)で \ \ a_k \longrightarrow a_k^p,\ \ b_k \longrightarrow a_n^q \quad (k=1,\ 2,\ \cdots ,\ n)\ \ とおくと$
$\quad \cfrac{a_1^p+a_2^p+\cdots + a_n^p}{n} \cdot \cfrac{a_1^q +a_2^q +\cdots + a_n^q}{n} \leqq \cfrac{a_1^{p+q}+a_2^{p+q}+ \cdots + a_n^{p+q}}{n}$
$(拡張2)$
$(1)で\ \ a_1=b_1,\ a_2=b_2,\ \cdots ,a_n=b_n \ \ とおくと$
$\quad \big(\cfrac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n}\big)^2 \leqq \cfrac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n} \hspace{5em}(2)$
$このときは、a_1+a_2+\cdots +a_n,\ \ a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2 \ \ はともに \ a_1,\ a_2,\ \cdots ,a_n\ の対称式だから$
$a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n \ \ の条件は不用となる。$
$さらに、(2)式の両辺に \quad \cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ \ をかけて$
$\quad \big(\cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\big)^3 \leqq \cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \cdot \cfrac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n}$
$右辺は(1)の左辺で \ \ b_1=a_1^2,\ b_2=a_2^2,\cdots ,\ b_n=a_n^2\ \ とおいたものだから$
$\quad \cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \cdot \cfrac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n} \leqq \cfrac{a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3}{n} $
$よって \qquad \big(\cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\big)^3 \leqq \cfrac{a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3}{n} $
$(2)式の両辺に \quad \cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ \ をかける操作を繰り返すと$
$\quad \big(\cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\big)^p \leqq \cfrac{a_1^p+a_2^p+\cdots +a_n^p}{n} \quad (a_1 > 0,\ \ a_2 > 0,\ \cdots ,\ \ a_n > 0 , \quad p\ は正の整数)$
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