コーシー・シュワルツの不等式(積分形)
$\hspace{5em} 整式におけるコーシー・シュワルツの不等式は($コーシー・シュワルツの不等式$)をご覧ください。$
\[\qquad \Big(\int_0^1f(x)^2dx \Big) \Big(\int_0^1g(x)^2dx\Big) \geqq \Big(\int_0^1f(x)g(x)dx\Big)^2 \]
$(証明 \ 1)$
\[F(x)=\Big(\int_0^xf(t)^2dt \Big) \Big(\int_0^xg(t)^2dt\Big)- \Big(\int_0^xf(t)g(t)dt\Big)^2 \ \ (x \geqq 0)\ \ とおくと\]
\begin{eqnarray*} F'(x) &=&f(x)^2\int_0^xg(t)^2dt +g(x)^2\int_0^xf(t)^2dt - 2f(x)g(x)\int_0^xf(t)g(t)dt\\ \\ &=&\int_0^x\big(f(x)^2 g(t)^2 +g(x)^2f(t)^2 - 2f(x)g(x)f(t)g(t)\big)dt\\ \\ &=&\int_0^x \big(f(x)g(t)-f(t)g(x)\big)^2dt\\ \\ &\geqq &0 \end{eqnarray*} $F(x)\ は \ x \geqq 0\ で単調増加だから \quad F(x) \geqq F(0)=0$
\[よって \quad \Big(\int_0^xf(t)^2dt \Big) \Big(\int_0^xg(t)^2dt\Big) \geqq \Big(\int_0^xf(t)g(t)dt\Big)^2 \]
\[x=1\ とおいて \ \ t \longrightarrow x \ \ と置き換えると \quad \Big(\int_0^1f(x)^2dx \Big) \Big(\int_0^1g(x)^2dx\Big) \geqq \Big(\int_0^1f(x)g(x)dx\Big)^2 \]
$等号は$
$\quad f(x)g(t)-f(t)g(x)=0 \ \ のとき、すなわち \quad \cfrac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{f(t)}{g(t)}\quad のときだから$
$\quad これは \ x,\ t\ によらず一定である。この一定値を \ k\ とおくと \quad f(x)=kg(x) \quad のときである。$
$(証明 \ 2)$
\[\int_0^1\{tg(x)-f(x)\}^2 dx \geqq 0 \quad だから\] \[t^2\int_0^1g(x)^2dx -2t\int_0^1f(x)g(x)dx +\int_0^1 f(x)^2 dx \geqq 0 \] $この \ t\ についての \ 2\ 次式が常に成りたつ条件は、判別式 \ D\ が \quad D \leqq 0 \quad であるから$
\[\cfrac{D}{4}=\Big(\int_0^1f(x)g(x)dx\Big)^2 - \big(\int_0^1f(x)^2dx \Big) \Big(\int_0^1g(x)^2dx\Big) \leqq 0\] $等号は$
$\quad tg(x)-f(x)=0 \quad のとき、すなわち 任意の実数 \ t\ に対して \quad \cfrac{f(x)}{g(x)}=t $
$\quad 右辺は \ x\ によらないから、あらためてこの値を \ k\ とおくと \quad f(x)=kg(x)\quad のとき$
$例$
$a \leqq x \leqq b \ \ で \ f(x) > 0 \quad のとき$
\[\Big(\int_a^bf(x)dx\Big) \Big(\int_a^b \cfrac{dx}{f(x)}\Big) \geqq \Big(\int_a^b \cfrac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(x)}}dx\Big)^2=(b-a)^2\]
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