早稲田大学(理系) 2026年　問題5


$関数 \ f(x)=x\log x \ \ について、以下の問に答えよ。ただし、\log \ は自然対数、e\ は自然対数の底を表す。$
\[必要ならば、\lim_{x \rightarrow +0} x\log x =0 \ \ を用いてよい。\] $(1)\ \ y=f(x)\ の増減、極値を調べて、そのグラフをかけ。$
$(2)\ \ 実数 \ a\ に対して、g(x)=ax-1 \ \ とする。曲線 \ y=f(x)\ と直線 \ y=g(x)\ の共有点の個数は、a\ の値に$
$\quad よってどのように変わるか調べよ。$
$(3)\ \ 曲線 \ y=f(x)\ と直線 \ y=g(x)\ の共有点の個数が \ 1\ 個のとき、曲線 \ y=f(x)、直線 \ y=g(x) および$
$\quad 直線 \ x=\dfrac{1}{e}\ で囲まれた部分を \ y\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積を求めよ。$


(1)


$f(x)=x\log x \ \ より \quad f'(x)=\log x+x \times \dfrac{1}{x}=1+\log x$

$f'(x)=0 \ \ より \quad \log x=-1 \quad x=\dfrac{1}{e}$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & \dfrac{1}{e} & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x)& & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$x=\dfrac{1}{e} \ \ で極小となり、極小値 \quad f(\dfrac{1}{e})=\dfrac{1}{e}\log \dfrac{1}{e}=-\dfrac{1}{e}$

$x\ 軸との交点は、f(x)=0 \ \ より \ \ x> 0 \ \ だから \ \ \log x=0 \ \ すなわち \ \ x=1$

$f''(x)=\dfrac{1}{x} >0 \ \ だから\ \ グラフは下に凸$

\[\lim_{x \rightarrow +0} x\log x =0 \ \ だから　グラフは右図のとおり\]

(2)


$曲線 \ y=f(x)\ と直線 \ y=g(x)\ が接するとき$

$接点を \ P(p,\ p\log p) \ \ とすると$

$接線の方程式は \quad y=(1+\log p)(x-p)+p\log p=(1+\log p)x-p$

$これが \ \ y=ax-1 \ \ に一致するから$

$1+\log p=a ,\quad -p=-1 $

$よって \quad p=1,\quad a=1$

　

$曲線 \ y=f(x)\ と直線 \ y=ax-1\ のグラフは右図のとおりで$

$共有点の個数は$

$a < 1 \ \ のとき \quad 0 個$

$a = 1 \ \ のとき \quad 1 個$

$a > 1 \ \ のとき \quad 2 個$


$(別解)$

　

$x\log x=ax-1 \ \ より \quad a=\dfrac{1+x\log x}{x}=\dfrac{1}{x}+\log x$

$y=\dfrac{1}{x}+\log x \ \ と \ \ y=a \ \ の交点の個数を調べる。$


(3)


$線分 \ AC、曲線 \ AB、線分 \ BC\ を \ y\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積をそれぞれ \ V_1,\ V_2,\ V_3 \ とする。$

$線分 \ AC \ は \ \ x=y+1 \ \ だから$

\[V_1=\pi\int_{\scriptsize{-1+\dfrac{1}{e}}}^0 (1+y)^2dy=\pi\big[\dfrac{(1+y)^3}{3}\big]_{\scriptsize{-1+\dfrac{1}{e}}}^0=\dfrac{\pi}{3}\big(1-\dfrac{1}{e^3}\big)\]

　

\begin{eqnarray*} V_2 &=&\pi\int_{\scriptsize{^-\dfrac{1}{e}}}^0 x^2dy\\ \\ &=&\pi\int_{\scriptsize{^\dfrac{1}{e}}}^1 x^2 \dfrac{dy}{dx}dx\\ \\ &=&\pi\int_{\scriptsize{^\dfrac{1}{e}}}^1 x^2 (1+\log x)dx\\ \\ &=&\pi\int_{\scriptsize{^\dfrac{1}{e}}}^1 (x^2 +x^2\log x)dx\\ \\ &=&\pi\big[\dfrac{x^3}{3}\big]_{\scriptsize{^\dfrac{1}{e}}}^1+\pi\big[\dfrac{x^3}{3}\log x \big]_{\scriptsize{^\dfrac{1}{e}}}^1-\pi\int_{\scriptsize{^\dfrac{1}{e}}}^1 \dfrac{x^3}{3} \times \dfrac{dx}{x}\\ \\ &=&\dfrac{\pi}{3}\big(1-\dfrac{1}{e^3}\big) + \dfrac{\pi}{3}\big(-\dfrac{1}{e^3}\log \dfrac{1}{e} \big) -\dfrac{\pi}{3} \int_{\scriptsize{^\dfrac{1}{e}}}^1 x^2dx\\ \\ &=&\dfrac{\pi}{3}\big(1-\dfrac{1}{e^3}\big) + \dfrac{\pi}{3}\big(\dfrac{1}{e^3}\big) -\dfrac{\pi}{9} \big[x^3\big]_{\scriptsize{^\dfrac{1}{e}}}^1 \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{3} -\dfrac{\pi}{9} \big(1-\dfrac{1}{e^3}\big) \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{9} \big(2+\dfrac{1}{e^3}\big) \\ \end{eqnarray*}
\[V_3=\pi\int_{\scriptsize{-1+\dfrac{1}{e}}}^{\scriptsize{-\dfrac{1}{e}}}\big(\dfrac{1}{e}\big)^2dy=\dfrac{\pi}{e^2} \big[x\big] _{\scriptsize{-1+\dfrac{1}{e}}}^{\scriptsize{-\dfrac{1}{e}}}=\dfrac{\pi}{e^2} \big\{-\dfrac{1}{e} -\big(-1+\dfrac{1}{e}\big)\big\} =\dfrac{\pi}{e^2} \big(1-\dfrac{2}{e}\big) \]
$よって\ y\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積 \ V\ は$

\begin{eqnarray*} V &=&V_1-V_2-V_3\\ \\ &=&\dfrac{\pi}{3}\big(1-\dfrac{1}{e^3}\big)-\dfrac{\pi}{9} \big(2+\dfrac{1}{e^3}\big)-\dfrac{\pi}{e^2} \big(1-\dfrac{2}{e}\big)\\ \\ &=&\dfrac{\pi}{9}\big(1-\dfrac{9}{e^2} +\dfrac{14}{e^3}\big) \end{eqnarray*}

$(研究)$

$区間 \ [a,\ b]\ を分割した小区間 \ [x,\ x+\Delta x]\ における曲線下の微小な長方形を \ y\ 軸の回りに回転してできる$

$厚みのある円筒を集めると求める回転体の体積が得られます。$

$このような回転体の体積を求める方法を($バームクーヘン分割の回転体の体積$)といいます。$

　

\begin{eqnarray*} V &=&2\pi\int_{\scriptsize{\dfrac{1}{e}}}^1x(x\log x - (x-1))dx\\ \\ &=&2\pi\int_{\scriptsize{\dfrac{1}{e}}}^1(x^2\log x - x^2+x)dx\\ \\ & &\hspace{5em} \vdots \\ \end{eqnarray*} $この後の計算は \ V_2 \ の求め方に同じです。$


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