2 最小値
$「X_{(1)} \leqq x である」ことは「X_1,X_2,\cdots , X_n \ \ のうち、少なくとも1個はx以下」$
$すなわち$
$「X_1,X_2,\cdots , X_n \ \ のうち、x以下のものがいくつかある。」$
$そこで、「n個のうち、x以下のものがi個、xより大きいものがn-i個ある。」とすると$
$その選び方は {}_n C _i 通りあるから、最小値X_{(1)}がx以下である確率は$
\begin{eqnarray*} P(X_{(1)} \leqq x) &=&\sum _{i=1}^n {}_n C_i \bigl(F(x)\bigr)^i\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-i}\\ &=&1- {}_n C_0 \bigl(1-F(x)\bigr)^n\\ \\ &=&1- \bigl(1-F(x)\bigr)^n\\ \end{eqnarray*}
$または命題の否定を使って次のように考えてもいいでしょう。$
$「X_1,X_2,\cdots , X_n \ \ のうち、少なくとも1個はx以下」の否定は$
$「X_1,X_2,\cdots , X_n \ \ のすべてがxより大きい」だから$
\begin{eqnarray*} P(X_{(1)} \leqq x) &=&1-P(X_1,X_2,\cdots , X_n \ \ のすべてがxより大きい)\\ &=&1-P(X_1>x,X_2>x,\cdots , X_n>x)\\ &=&1-P(X_1>x)P(X_2>x)\cdots P( X_n>x)\\ &=&1-\prod_{i=1}^nP(X_i > x)\\ &=&1-\prod_{i=1}^n\bigl(1-P(X_i \leqq x)\bigr)\\ &=&1- \bigl(1-F(x)\bigr)^n\\ \end{eqnarray*}
(i)$Xが離散的な確率変数の場合$
$\quad 最小値X_{(1)}がxである確率P(X_{(1)}=x)は$
\begin{eqnarray*} P(X_{(1)} =x) &=&P(X_{(1)} \leqq x)-P(X_{(1)} \leqq x-1)\\ &=&1-\bigl(1-F(x)\bigr)^n-\{1-\bigl(1-F(x-1)\bigr)^n\}\\ &=&\{1-F(x-1)\}^n-\{1-F(x)\}^n\}\\ \end{eqnarray*}
$\qquad Xが離散的な確率変数の場合 \quad P(X_{(1)} =x)=\{1-F(x-1)\}^n-\{(1-F(x)\}^n$
$例3 \quad さいころをn回投げたとき、出る目をX_i(i=1,2,\cdots ,n)とする。X_{(1)}=x \ \ の確率を求めてみましょう。$
$\quad 例1より \ \ P(X=x_i)=\cfrac{1}{6} \quad (i=1,2,\cdots,6) \ で F(x)=\cfrac{x}{6}$
$したがって$
$\qquad P_{(1)}(x)=(1-\cfrac{x-1}{6})^n-(1-\cfrac{x}{6})^n$
$たとえば、最小値が3である確率は$
$\qquad P_{(1)}(3)=(1-\cfrac{2}{6})^n-(1-\cfrac{3}{6})^n=(\cfrac{2}{3})^n-(\cfrac{1}{2})^n$
$(別解)$
$すべての目が3以上である事象をA,すべての目が4以上である事象をBとする。$
$\overline{B}は「ある目が3以下」すなわち「3以下の目が少なくとも1回はでる」だから$
$A \cap \overline{B}は「すべての目が3以上かつ3以下の目が少なくとも1回は出る」ことだから$
$3は最小値となり、これが求める事象である。したがってその確率は$
$A \supset{B}に注意して$
$\qquad P=P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(B)=\bigl(\cfrac{4}{6}\bigr)^n-\bigl(\cfrac{3}{6}\bigr)^n=\bigl(\cfrac{2}{3}\bigr)^n-\bigl(\cfrac{1}{2}\bigr)^n$
(ii)$Xが連続的な確率変数の場合$
$Xの確率密度関数をf(x)、分布関数をF(x)とし、最小値X_{(1)}の確率密度関数をf_{(1)}(x)とする。$
$連続な場合、分布関数の導関数が確率密度関数となるから$
$\qquad P(X_{(1)} \leqq x)=1- \bigl(1-F(x)\bigr)^n \ \ を微分して$
$\qquad f_{(1)}(x)=n\{1-F(x)\}^{n-1}F'(x)=nf(x)\{1-F(x)\}^{n-1}$
$\qquad Xが連続的な確率変数の場合 \quad f_{(1)}(x)=nf(x)\{1-F(x)\}^{n-1}$
$例4 [0,1]の一様乱数をn個とり、u_1,u_2,\cdots ,u_nとする。このn個の最小値の確率密度関数f_{(1)}(x)を求めてみましょう。$
\[f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0 \hspace{3em} (x < 0,x > 1 )\\ 1 \hspace{2em} (0 \leqq x \leqq 1)\\ \end{array} \right. \] $だから f(x)の分布関数は$
\[F(x)=\int _{-\infty}^{x} f(x)dx=\int _{0}^{x} dx=x\] $したがって f_{(1)}(x)=n(1-x)^{n-1} \quad ( \ 0 \leqq x \leqq 1 \ )$
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