1 最大値
$X_i (i=1,2,\cdots ,n)がx以下である確率は分布関数となりますが、これをF(x)=P(X_i \leqq x) とおきます。$
$\quad 最大値X_{(n)}がx以下である確率は$
\begin{eqnarray*} P(X_{(n)} \leqq x) &=&P(X_1 \leqq x,X_2 \leqq x,\cdots , X_n \leqq x)\\ \\ &=&P(X_1 \leqq x)P(X_2 \leqq x) \cdots P(X_n \leqq x)\\ \\ &=&\prod_{i=1}^nP(X_i \leqq x)\\ \\ &=&\{F(x)\}^n\\ \end{eqnarray*} $とあらわせます。$
(i)$Xが離散的な確率変数の場合$
$最大値X_{(n)}がxである確率P(X_{(n)}=x)は$
$\qquad P(X_{(n)} =x)=P(X_{(n)} \leqq x)-P(X_{(n)} \leqq x-1)=\{F(x)\}^n-\{F(x-1)\}^n$
$\qquad Xが離散的な確率変数の場合\quad P(X_{(n)} =x)=\{F(x)\}^n-\{F(x-1)\}^n$
$例1 \quad さいころをn回投げたとき、出る目をX_i(i=1,2,\cdots ,n)とする。X_{(n)}=x \ \ の確率を求めてみましょう。$
$\quad P(X_i=x)=\cfrac{1}{6} \ \ だからXの分布関数F(x)は$
\begin{eqnarray*} F(x) &=&P(X_i \leqq x)\\ &=&P(X_i =1)+P(X_i =2)+\cdots +P(X_i =x)\\ &=&\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}+\cdots +\cfrac{1}{6}\\ &=&\cfrac{x}{6}\\ \end{eqnarray*} $したがって$
$\qquad P(X_{(n)}=x)=\{F(x)\}^n-\{F(x-1)\}^n=\bigl(\cfrac{x}{6}\bigr)^n-\bigl(\cfrac{x-1}{6}\bigr)^n$
$たとえば最大値が5である確率は$
$\qquad P(X_{(n)}=5)=\bigl(\cfrac{5}{6}\bigr)^n-\bigl(\cfrac{4}{6}\bigr)^n$
$(別解)$
$すべての目がx以下である事象をA,すべての目がx-1以下である事象をBとする。$
$\overline{B}は「ある目がx以上」すなわち「x以上の目が少なくとも1回はでる」だから$
$A \cap \overline{B}は「すべての目がx以下でかつx以上の目が少なくとも1回は出る」ことだから$
$xは最大値となり、これが求める事象である。したがってその確率は$
$A \supset{B}\ \ に注意して$
$\qquad P=P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(B)=\bigl(\cfrac{x}{6}\bigr)^n-\bigl(\cfrac{x-1}{6}\bigr)^n$
$下の表とグラフは、この問題で、n=2,3,4,5,6,7としたときの最大値がxである確率PxをExcelで求めたものです。$
$回数nが大きくなれば、必ず1や2以外の目も出て5や6が出ることもあることから、$
$最大値が5や6となる確率が大きくなります。$
(ii)$Xが連続的な確率変数の場合$
$\quad Xの確率密度関数をf(x)、分布関数をF(x)とし、最大値X_{(n)}の確率密度関数をf_{(n)}(x)とする。$
$\quad 連続な場合、分布関数の導関数が確率密度関数となるから$
$\qquad P(X_{(n)} \leqq x)=\{F(x)\}^n \ \ を微分して$
$\qquad f_{(n)}(x)=n\{F(x)\}^{n-1}F'(x)=nf(x)\{F(x)\}^{n-1}$
$\qquad Xが連続的な確率変数の場合 \quad f_{(n)}(x)=nf(x)\{F(x)\}^{n-1}$
$例2 [0,1]の一様乱数を3個とり、u_1,u_2,u_3とする。この3個の最大値uの確率密度関数f_{(3)}(x)を求めてみましょう。$
\[f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0 \hspace{3em} (x < 0,x > 1 )\\ 1 \hspace{3em} (0 \leqq x \leqq 1)\\ \end{array} \right. \] $だから f(x)の分布関数は$
\[F(x)=\int _{-\infty}^{x} f(x)dx=\int _{0}^{x} dx=x\] $したがって f_{(3)}(x)=3 \times 1 \times x^2=3x^2 \quad (\ 0 \leqq x \leqq 1 \ )$
$実際、3個の一様乱数を1組としてこの中から最大値を求める操作を3000回行って$
$度数分布を調べた結果が下表です。$
$確かに理論値 \ f_{(3)}(x)=3x^2 \ に一致することがわかります。$
$同様に、5個の一様乱数を1組としてこの中から最大値を求める操作を3000回行って$
$度数分布を調べた結果が下表です。$
$やはり理論値 \ f_{(5)}(x)=5x^4 \ に一致することがわかります。$
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