横浜国立大学(理系) 2024年 問題1(2)
$実数全体で定義された連続関数 \ f(x)\ が、すべての実数 \ x\ に対して \ \ f(x) > 0 ,かつ$
\[f(x)=\int_0^x \cfrac{t}{(t^2+1)f(t)} dt +1 \quad をみたすとき、f(x)\ を求めよ。\]
\[f(x)=\int_0^x \cfrac{t}{(t^2+1)f(t)} dt +1 \quad の両辺を微分して\] $f'(x)=\cfrac{x}{(x^2+1)f(x)}$
$\qquad (補充)$
\[\qquad 一般に、区間 \ [a,\ b]\ 内の任意の \ x\ に対して、\int_a^xf(t)dt =S(x) \quad とおくと \quad S'(x)=f(x)\]
$\qquad これを、微分積分学の基本定理といいます。詳しくは($区分求積法と定積分$)を参考にしてください。$
$f(x)f'(x)=\cfrac{x}{x^2+1}$
$両辺に \ 2\ をかけて不定積分をとると$
\[\int 2f(x)f'(x)dx=\int \cfrac{2x}{x^2+1}dx\] $\{f(x)\}^2=\log(x^2+1)+C$
$f(0)=1 \quad だから \quad 1=\log 1+C \qquad \therefore \ \ C=1$
$\{f(x)\}^2=\log(x^2+1)+1$
$f(x) > 0 \quad だから \quad f(x)=\sqrt{1+\log(x^2+1)}$
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