横浜国立大学(理系) 2022年　問題1


$次の問いに答えよ。$
\[(1)\ \ 0\ でない実数 \ a\ に対して、定積分 \ \ I=\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{at}\cos (2t)dt,\quad J=\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{at}\sin (2t)dt \quad を \ a\ の式で表せ。\] $\qquad (2)\ \ xy\ 平面において、曲線 \ C:\ x=e^{-2t}\cos t,\quad y=e^{-t}\sin t \ \ (0 \leqq t \leqq \cfrac{\pi}{2})\ と、x\ 軸と,y\ 軸で囲まれた$
$\hspace{3em}部分の面積 \ S\ を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ この定積分は、$大阪大学(理系)問5$と同じですので参考にしてください。$
$\quad I,\ J\ をそれぞれ \ 2\ 回部分積分する方法が一般的ですが、1\ 回で済む方法もあります。また大学で学ぶオイラーの$
$\quad 公式をつかう簡単な方法もあります。$
$(2)\ \ 媒介変数表示の関数ですので、x,\ y\ をそれぞれ \ t\ で微分して増減を調べ、グラフを描きます。面積を求める$
$\quad 積分は置換積分法そのものです。$


(1)


\begin{eqnarray*} I &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{at}\cos 2tdt\\ \\ &=&\big[\cfrac{1}{a}e^{at}\cos 2t\big]_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} + \int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \cfrac{2}{a}e^{at}\sin 2tdt\\ \\ &=&-\cfrac{1}{a}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big) + \cfrac{2}{a}\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{at}\sin 2tdt\\ \\ &=&-\cfrac{1}{a}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big) + \cfrac{2}{a}J \hspace{5em}①\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} J &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{at}\sin 2tdt\\ \\ &=&\big[\cfrac{1}{a}e^{at}\sin 2t\big]_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} - \int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \cfrac{2}{a}e^{at}\cos 2tdt\\ \\ &=&-\cfrac{2}{a}I　\hspace{10em}②\\ \end{eqnarray*}
$②を①に代入して$

$I=-\cfrac{1}{a}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big) + \cfrac{2}{a} \times \big(-\cfrac{2}{a}I\big) = -\cfrac{1}{a}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big) - \cfrac{4}{a^2} I$

$\big(1+\cfrac{4}{a^2}\big)I= -\cfrac{1}{a}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big) $

$I=I(a)=-\cfrac{a}{a^2+4}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big) $

$J=J(a)=-\cfrac{2}{a} \times \big(-\cfrac{a}{a^2+4}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big)\big) =\cfrac{2}{a^2+4}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big) $


$(別解)$

$オイラーの公式 \quad e^{ix}=\cos x +i\sin x \quad を用いる方法です。$

\begin{eqnarray*} I+iJ &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{at}\cos 2t dt + i\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{at}\sin 2tdt\\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{at}(\cos 2t + i\sin 2t)dt\\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{at}e^{2it}dt\\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{(a+2i)t}dt\\ \\ &=&\cfrac{1}{a+2i}\big[e^{(a+2i)t}\big]_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\\ \\ &=&\cfrac{1}{a+2i}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi(a+2i)}{2}}} -1\big) \\ \\ &=&\cfrac{1}{a+2i}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}\cdot e^{i\pi} -1\big) \\ \\ &=&\cfrac{a-2i}{a^2+4}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}(\cos \pi +i\sin \pi)-1\big) \\ \\ &=&\cfrac{a-2i}{a^2+4}\big(-e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}-1\big) \\ \\ &=&-\cfrac{a}{a^2+4}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1 \big)+i\cdot \cfrac{2}{a^2+4}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1 \big) \\ \end{eqnarray*}
$実部と虚部を比べて$

$\quad I=I(a)=-\cfrac{a}{a^2+4}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big) ,\qquad J=J(a)=\cfrac{2}{a^2+4}\big(e^{\scriptsize{\cfrac{\pi a}{2}}}+1\big) $


(2)


$\quad x=e^{-2t}\cos t \quad より \quad \cfrac{dx}{dt}=-2e^{-2t}\cos t -e^{-2t}\sin t=-e^{-2t}(2\cos t + \sin t)$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} \\ \hline \small{\cfrac{dx}{dt}}& & - & \\ \hline x& 1 & \searrow & 0 & \\ \end{array} \]

　
$\quad y=e^{-t}\sin t \quad より \quad \cfrac{dy}{dt}=-e^{-t}\sin t +e^{-t}\cos t=-e^{-t}(\sin t - \cos t)$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{4} & \cdots & \dfrac{\pi}{2}\\ \hline \small{\cfrac{dy}{dt}}& & + & 0 & - & \\ \hline y& 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & e^{\scriptsize{-\cfrac{\pi}{2}}}\\ \end{array} \] $t=\cfrac{\pi}{4}\ で \ y\ は極大となり、極大値は \quad y= e^{\scriptsize{-\cfrac{\pi}{4}}}\sin \cfrac{\pi}{4}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}e^{\scriptsize{-\cfrac{\pi}{4}}}$

$曲線 \ C\ のグラフは右図のとおりです。$

$求める面積 \ S\ は$
\begin{eqnarray*} S &=&\int _0^1ydx\\ \\ &=&\int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^0 e^{-t}\sin t \cdot e^{-2t}(-2\cos t - \sin t )dt\\ \\ &=&\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} 2e^{-3t}\sin t \cos tdt + \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{-3t}\sin ^2t dt\\ \\ &=&\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{-3t}\sin 2t dt + \cfrac{1}{2}\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{-3t}(1-\cos 2t) dt\\ \\ &=&\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{-3t}\sin 2t dt - \cfrac{1}{2}\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{-3t}\cos 2t dt + \cfrac{1}{2}\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} e^{-3t}dt \\ \\ &=&J(-3)-\cfrac{1}{2}I(-3) - \cfrac{1}{6}\big[e^{-3t}\big] _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\\ \\ &=&\cfrac{2}{13}\big(e^{\scriptsize{-\cfrac{3\pi}{2}}}+1\big) -\cfrac{1}{2} \times \cfrac{3}{13}\big(e^{\scriptsize{-\cfrac{3\pi}{2}}}+1\big) - \cfrac{1}{6}\big(e^{\scriptsize{-\cfrac{3\pi}{2}}}-1\big) \\ \\ &=&\cfrac{8}{39}-\cfrac{5}{39} e^{\scriptsize{-\cfrac{3\pi}{2}}} \end{eqnarray*}


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る