大阪大学(理系) 2022年 問題5
$座標平面上において、t\ を媒介変数として \ \ x=e^t\cos t+e^{\pi},\quad y=e^t\sin t \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)\ \ で表される曲線を$
$C\ とする。曲線 \ C\ と \ x\ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。$
$(解説)$
$面積を求める定積分は、$横浜国立大学(理系)問1$と同じですので参考にしてください。$
$媒介変数表示の関数ですので、x,\ y\ をそれぞれ \ t\ で微分して増減を調べ、グラフを描きます。$
$定積分は置換積分法そのものです。2\ 回部分積分する方法が一般的ですが、1\ 回で済む方法もあります。$
$また大学で学ぶオイラーの公式をつかう簡単な方法もあります。$
\[はじめに、I=\int e^{2t}\cos 2tdt ,\quad J=\int e^{2t}\sin 2tdt \quad を求めておきますが、積分定数は省略します。\] \[I=\int e^{2t}\cos 2tdt =\cfrac{1}{2}e^{2t}\cos 2t + \int e^{2t}\sin 2tdt =\cfrac{1}{2}e^{2t}\cos 2t +J \hspace{5em}(1)\] \[J=\int e^{2t}\sin 2tdt =\cfrac{1}{2}e^{2t}\sin 2t - \int e^{2t}\cos 2tdt =\cfrac{1}{2}e^{2t}\sin 2t -I \hspace{5em}(2)\]
$(2)を(1)に代入して$
$\quad I=\cfrac{1}{2}e^{2t}\cos 2t + \cfrac{1}{2}e^{2t}\sin 2t -I \qquad \therefore \ \ I=\cfrac{e^{2t}}{4}(\sin 2t + \cos 2t)$
$\quad J=\cfrac{1}{2}e^{2t}\sin 2t - \cfrac{e^{2t}}{4}(\sin 2t + \cos 2t)=\cfrac{e^{2t}}{4}(\sin 2t - \cos 2t)$
$(別解)$
$オイラーの公式 \quad e^{ix}=\cos x +i\sin x \quad を用いる方法です。$
\begin{eqnarray*} I+iJ &=&\int e^{2t}\cos 2tdt +i\int e^{2t}\sin 2tdt\\ &=&\int e^{2t}(\cos 2t + i\sin 2t)dt\\ &=&\int e^{2t}e^{2it}dt\\ &=&\int e^{2(1+i)t} dt\\ &=&\cfrac{1}{2(1+i)}e^{2(1+i)t}\\ &=&\cfrac{1-i}{4}e^{2t}e^{2it}\\ &=&\cfrac{1-i}{4}e^{2t}(\cos 2t + i\sin 2t)\\ &=&\cfrac{e^{2t}}{4}(\sin 2t + \cos 2t) +i\cfrac{e^{2t}}{4}(\sin 2t - \cos 2t)\\ \end{eqnarray*}
$実部と虚部を比べて$
$\qquad I=\cfrac{e^{2t}}{4}(\sin 2t + \cos 2t) ,\qquad J=\cfrac{e^{2t}}{4}(\sin 2t - \cos 2t)$
$ここで、面積を求めるのに必要な不定積分 \ T\ を求めておきます。$
\begin{eqnarray*} T &=&\int ydx\\ &=&\int e^t\sin t \times e^t(\cos t -\sin t )dt\\ &=&\int e^{2t}(\sin t \cos t -\sin ^2t )dt\\ &=&\cfrac{1}{2}\int e^{2t}\sin 2t dt -\cfrac{1}{2}\int e^{2t}(1-\cos 2t )dt\\ &=&\cfrac{1}{2}J + \cfrac{1}{2}I -\cfrac{1}{2}\int e^{2t}dt\\ &=&\cfrac{1}{2}(I + J) -\cfrac{1}{4} e^{2t}\\ &=&\cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{2}e^{2t}\sin 2t -\cfrac{1}{4} e^{2t}\\ &=&\cfrac{1}{4}e^{2t}(\sin 2t - 1)\\ \end{eqnarray*}
$次に、曲線Cの概形を調べます。$
$\quad x=e^t\cos t +e^{\pi} \quad より \quad \cfrac{dx}{dt}=e^t(\cos t - \sin t)$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{4} & \cdots & \pi\\ \hline \small{\cfrac{dx}{dt}}& & + & 0 & - & \\ \hline x& & \nearrow & 極大 & \searrow & 0 \\ \end{array} \]
$\quad t=0 \quad のとき \quad x=1+e^{\pi}$
$\quad t=\cfrac{\pi}{4}\ で \ x\ は極大となり、極大値は \quad x_1= \cfrac{\sqrt{2}}{2} e^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{4}}} + e^{\pi}$
$\quad y=e^t\sin t \quad より \quad \cfrac{dy}{dt}=e^t(\sin t + \cos t)$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & \dfrac{3\pi}{4} & \cdots & \pi\\ \hline \small{\cfrac{dy}{dt}}& & + & 0 & - & \\ \hline y& 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & 0 \\ \end{array} \]
$t=\cfrac{3\pi}{4}\ で \ y\ は極大となり、極大値は \quad y= \cfrac{\sqrt{2}}{2}e^{\scriptsize{\cfrac{3\pi}{4}}}$
$曲線 \ C\ のグラフは右図のとおりです。$
$求める面積 \ S\ は$
\begin{eqnarray*}
S
&=&\int _0^{x_2}ydx -\int _{x_1}^{x_2}ydx\\
\\
&=&\int _0^{x_2}ydx +\int _{x_2}^{x_1}ydx\\
\\
&=&\int _0^{x_1}ydx \\
\\
&=&\big[\cfrac{1}{4}e^{2t}(\sin 2t - 1)\big]_{\pi}^0\\
&=&\cfrac{1}{4}(e^{2\pi}- 1)
\end{eqnarray*}
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