一様収束と積分
$区間 \ I=[a,\ b]\ で定義された連続な関数列 \ \{f_n(x)\} \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots )\ \ が、f(x)\ \ に一様収束すれば$
\[区間 \ I\ の任意の \ x\ に対して、F_n(x)=\int_a^x f_n(t)dt \ \ は \ \ F(x)= \int_a^x f(t)dt \ \ に一様収束する。\]
$(証明)$
$連続な関数列 \ \{f_n(x)\} \ が、f(x)\ \ に一様収束すれば$
$x\ に無関係な \ N\ をとり、n \geqq N \quad ならば \quad |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon \quad とおける。$
$このとき、区間 \ I\ の任意の \ x\ に対して$
\begin{eqnarray*} & &|F_n(x)-F(x)|\\ \\ &=&\big|\int_a^x f_n(t)dt - \int_a^x f(t)dt\big|\\ \\ &=&\big|\int_a^x f_n(t)dt - f(t)dt\big|\\ \\ &\leqq&\int_a^x |f_n(t)- f(t)|dt\\ \\ &\leqq&\int_a^x \varepsilon dt\\ \\ &=&\varepsilon(x-a)\\ \\ &\leqq&\varepsilon (b-a) \end{eqnarray*} \[よって、区間 \ I\ の任意の \ x\ に対して、F_n(x)=\int_a^x f_n(t)dt \ \ は \ \ F(x)= \int_a^x f(t)dt \ \ に一様収束する。\]
\[なお、このことは \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^x f_n(t)dt = \int_a^x \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(t)dt \quad が成りたつから、\]
\[\lim _{n \rightarrow \infty} \ \ と \ \ \int _a^x \ \ が交換できることを示している。\]
$連続な関数列 \ \{f_n(x)\} \ \ が、f(x)\ に収束するが、一様収束でないときには成りたたないこともある。$
$例\ \ 1$
$I=[0,\ 1]\ \ で$
$f_n(0)=0 \quad だから \quad f(0)=0$
$0 < x \leqq 1 \quad のとき \quad \cfrac{1}{n} \leqq x \leqq 1 \quad を満たす \ n\ に対して$
\[f_n(x)=0 \quad だから \quad f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x) =0\]
$したがって$
\[\int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 0 dx=0\]
\[\int_0^1 f_n(x)dx=\cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{n} \times (2n^2 \times \cfrac{1}{2n})=\cfrac{1}{2}\]
\[よって \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1f_n(x)dx \ne \int_0^1f(x)dx \]
$これは、n \geqq \cfrac{1}{x} \quad だから \ x\ に無関係な \ N\ がとれず、f_n(x)\ が \ f(x)\ に一様収束しないからである。$
$あるいは$
$f_n(x)\ は \ x=\cfrac{1}{2n}\ のとき最大値 \ \ f(\cfrac{1}{2n})=2n^2 \times \cfrac{1}{2n}=n \ \ をもつから$
\[\max_{0 \leqq x \leqq 1}|f_n(x)-f(x)|=n \quad となって \quad n \longrightarrow \infty \ \ のとき \ 0\ に収束しないからである。\]
関数列の一様収束メニュー に戻る
メインメニュー に戻る