一様収束と微分
$区間 \ I=[a,\ b]\ で定義された微分可能な関数列 \ \{f_n(x)\} \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots )\ \ が、$
$\quad (1)\ \ f(x)\ \ に一様収束する$
$\quad (2)\ \ f_n'(x) は連続$
$\quad (3)\ \ f_n'(x) は一様収束する$
$ならば、f(x)\ は微分可能で、f_n'(x)\ は \ f'(x)\ に収束する。$
$(注意)$
$これら \ 3\ つの条件は、十分条件であることに注意してください。$
$(証明)$
$f_n'(x)\ は連続で、一様収束するからその極限関数 \ g(x)\ は連続で、 $
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^x f_n'(t)dt = \int_a^x g(t)dt \quad が成りたつ。\]
$左辺は条件(1)を用いて$
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^x f_n'(t)dt = \lim_{n \rightarrow \infty} \{f_n(x)-f_n(a)\}=f(x)-f(a) \]
\[したがって \quad f(x)-f(a)=\int_a^x g(t)dt\]
$右辺は微分可能だから、左辺も微分可能で \quad f'(x)=g(x)$
\[すなわち \quad f'(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} f_n'(x) \quad が成りたつ。\]
\[なお、このことは \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \Big\{\cfrac{d}{dx}f_n(x)\Big\} = \cfrac{d}{dx}\Big\{\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)\Big\} \quad が成りたつから、\]
\[\lim _{n \rightarrow \infty} \ \ と \ \ \cfrac{d}{dx} \ \ が交換できることを示している。\]
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