一様収束とは



$(定義 \ 1)$

$区間 \ I\ で定義された関数列 \ \{f_n(x)\} \ が、与えられた \ \ \varepsilon > 0\ \ に対して、ある番号 \ N\ が存在して、$

\[n \geqq N \ \ ならば \quad \max_{x \in I}|f_n(x)-f(x)|< \varepsilon \quad と表されるとき \ \ \{f_n(x)\}\ \ は \ I\ で \ f(x)\ に一様収束するという。\]

$あるいはこれと同様の次の定義も考えられる。$

$(定義 \ 2)$

$区間 \ I\ で定義された関数列 \ \{f_n(x)\} \ が、与えられた \ \ \varepsilon > 0\ \ に対して、I\ の任意の \ x\ について$

$ある番号 \ N\ が存在して、n \geqq N \ \ ならば \quad |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon \quad となる \ N\ が \ x\ に無関係に定まるならば$

$\{f_n(x)\}\ \ は \ I\ で \ f(x)\ に一様収束するという。$


$例 \ 1 \quad I=[0,\ 1]\ \ で \quad f_n(x)=\cfrac{x^{n+1}}{n+1} $

$ 0 \leqq \cfrac{x^{n+1}}{n+1}\leqq \cfrac{1}{n+1} \quad より $

$n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad f_n(x) \longrightarrow 0 \quad だから \quad f(x)=0$

$|f(x)-f_n(x)|=\cfrac{x^{n+1}}{n+1} \leqq \cfrac{1}{n+1}$

$ここで、\cfrac{1}{n+1} < \varepsilon \quad となるように \ \ \varepsilon \ \ を定めると$

$n > \cfrac{1}{\varepsilon } -1 \quad そこで \quad N=\big[\cfrac{1}{\varepsilon}\big] -1 \quad ととると$

$n > N \quad ならば \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \quad が成りたつから、f_n(x)\ \ は一様収束する。$


$例 \ 2 \quad I=[0,\ \pi] \ \ で \quad f_n(x)=\cfrac{\sin nx}{n} $

$|\sin nx | \leqq 1 \quad より \quad |\cfrac{\sin nx}{n}| \leqq \cfrac{1}{n} $

$n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad f_n(x) \longrightarrow 0 \quad だから \quad f(x)=0$

$|f(x)-f_n(x)|=|\cfrac{\sin nx }{n}| \leqq \cfrac{1}{n}$

$ここで、\cfrac{1}{n} < \varepsilon \quad となるように \ \ \varepsilon \ \ を定めると$

$n > \cfrac{1}{\varepsilon } \quad そこで \quad N=\big[\cfrac{1}{\varepsilon}\big] \quad ととると$

$n > N \quad ならば \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \quad が成りたつから、f_n(x)\ \ は一様収束する。$


　

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