一様収束と連続性



$区間 \ I\ で定義された連続な関数列 \ \{f_n(x)\} \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots )\ \ が、f(x)\ に一様収束すれば$
$f(x)\ も区間 \ I\ において連続である。$


$(証明)$

$任意に指定された \ \ \varepsilon > 0 \ \ に対して\ \{f_n(x)\} \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots )\ \ は、f(x)\ に一様収束するから$

$n \geqq N \quad ならば \quad |f_n(x+h) - f(x+h) | < \varepsilon,\qquad |f_n(x) - f(x) | < \varepsilon $

$また \ \ f_n(x) \ は連続だから \ \varepsilon \ に対して \ \delta \ を適当にとって$

$|h| <\delta \quad ならば \quad |f_n(x+h)-f_n(x)|< \varepsilon \quad が成りたつようにできる。$

$このとき$

\begin{eqnarray*} |f(x+h)-f(x)| &=&|f(x+h)-f_n(x+h)+f_n(x+h)-f_n(x)+f_n(x)-f(x)|\\ \\ &\leqq &|f(x+h)-f_n(x+h)| + |f_n(x+h)-f_n(x)| + |f_n(x)-f(x)|\\ \\ &<&3\varepsilon\\ \end{eqnarray*} $よって、I\ の任意の \ x\ に対して、f(x) \ は連続である。$


$(注意)$

$連続な関数列 \ \{f_n(x)\} \ \ が、f(x)\ に収束するが、一様収束でないときにはf(x)は連続関数にならないこともある。$

$例\ \ 1$

$I=[0,\ 1]\ \ で定義された関数 \ \ f_n(x)=x^n \ \ の極限関数 \ f(x)\ は$

　

\[ f(x)= \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 0 \hspace{5em} (0 \leqq x < 1)\\ 1 \hspace{5em} (x=1)\\ \end{array} \right. \]
$f_n(x)\ は連続関数であるが、f(x)\ は \ x=1\ で連続でない。$

$それは、f_n(x) \ が \ f(x)\ に一様収束しないからである。$

$なぜならば \quad 0 < x < 1\ \ 　のとき$

$|f_n(x)-f(x)|=x^n < \varepsilon \quad であるためには$

$n\log x < \log \varepsilon \qquad n(-\log x) > -\log \varepsilon$

$n > \cfrac{\log \dfrac{1}{\varepsilon}}{\log \dfrac{1}{x}} \quad より \quad N > \Big[\cfrac{\log \dfrac{1}{\varepsilon}}{\log \dfrac{1}{x}}\Big] \quad だから$

$x \ が \ 1\ に近いときは、N\ は限りなく大きな値をとらねばならなくなる$

$からである。$


$例\ \ 2$

$x \geqq 0 \ \ のとき \quad f_n(x)=\cfrac{x^{n+1}}{1+x^n} \ \ の極限関数f(x)$

$このような問題は、高校の数学Ⅲで学ぶ内容です。$

　

(i)$\ \ 0 \leqq x < 1 \quad のとき \quad f(x)=0$

(ii)$\ \ x = 1 \quad のとき \quad f(1)=\cfrac{1}{2}$

(iii)$\ \ x > 1 \quad のとき$

\[f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}\cfrac{x}{\dfrac{1}{x^n}+1}=x\]
$y=f(x) \ \ のグラフは右図のとおりで \ f_n(x)\ は連続関数であるが、$

$f(x)\ は \ x=1\ で連続でない。$

$それは、f_n(x) \ が \ f(x)\ に一様収束しないからである。$


　

ページの先頭へ↑



関数列の一様収束メニュー　に戻る


メインメニュー　に戻る