一様収束するための必要十分条件　 (コーシーの判定条件)



$区間 \ I\ で定義された関数列 \ \{f_n(x)\} \ が、一様収束するための必要十分条件は$

$\quad 与えられた\ \ \varepsilon > 0\ \ に対して、m,\ n \geqq N \ \ である任意の \ m,\ n \ に対して \quad |f_m(x)-f_n(x)| < \varepsilon \quad となる$
$\quad N\ が \ x\ に無関係に定まることである。$



$(証明)$

$(1)\quad 必要条件$

$\quad 一様収束するならば、その極限関数を \ f(x)\ とおくと区間 \ I\ の任意の実数 \ x\ に対して$

$\qquad m \geqq N \quad ならば \quad |f_m(x) - f(x) | < \cfrac{1}{2}\varepsilon$

$\qquad n \geqq N \quad ならば \quad |f_n(x) - f(x) | < \cfrac{1}{2}\varepsilon$

$\quad したがって \quad m,\ n \geqq N \quad ならば$

$\quad |f_m(x)-f_n(x)| \leqq |f_m(x)-f(x)|+|f_n(x)-f_n(x)| < \varepsilon $


$(補充)$

$一般に、この不等式が成りたつとき、関数列 \ \{f_n(x)\}\ \ (あるいは数列 \ a_n)\ \ をコーシー列、または基本列といいます。$


$(2) \quad 十分条件$

$\quad |f_m(x)-f_n(x)| < \varepsilon \quad ならば個々の実数 \ x\ に対して、コーシーの定理により基本列は収束するから$

$\quad \{f_n(x)\} \ \ は収束するのでその極限関数を \ f(x)\ とする。$

$\quad n\ を固定して、m \longrightarrow \infty \quad とすると \quad f_m(x) \longrightarrow f(x) \quad だから$

$\quad m \geqq N \quad ならば \quad |f_m(x) - f(x) | < \varepsilon$

$\quad よって \quad n \geqq N \quad ならば$

\begin{eqnarray*} \quad |f(x)-f_n(x)| &=&|f(x)-f_m(x)+f_m(x)-f_n(x)|\\ \\ &=&|f(x)-f_m(x)| + |f_m(x)-f_n(x)|\\ \\ &<&2\varepsilon\\ \end{eqnarray*} $\quad N\ は \ x\ に無関係に定まるから一様収束である。$


　

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