筑波大学(理系) 2023年　問題6


$i\ を虚数単位とする。複素数平面に関する以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 等式 \ \ |z+2|=2|z-1|\ \ を満たす点 \ z\ の全体が表す図形は円であることを示し、その円の中心と$
$\quad 半径を求めよ。$
$(2)\ \ 等式 \ \ \{|z+2|-2|z-1|\} |z+6i|=3\{|z+2|-2|z-1|\}|z-2i|\ \ を満たす点 \ z\ の全体が表す図形を$
$\quad S\ とする。このとき \ S\ を複素数平面上に図示せよ。$
$(3)\ \ 点 \ z\ が(2)における図形 \ S\ 上を動くとき、w=\cfrac{1}{z}\ \ で定義される点 \ w\ が描く図形を複素数平面上に$
$\quad 図示せよ。$


(1)

　

$|z+2|=2|z-1|\ \ において \ \ z=x+yi\ \ (x,\ y\ は実数)\ \ とおいて$

$両辺を平方すると$

$|x+2+yi|^2=4|x-1+yi|^2$

$(x+2)^2+y^2=4\big((x-1)^2+y^2\big)$

$x^2-4x+y^2=0 $

$(x-2)^2+y^2=4$

$これは\ \ 中心 A(2,\ 0),\ \ 半径 \ \ 2\ \ の円を表している。$


$(別解)$

$|z+2|^2=4|z-1|^2 \quad より \quad 　(z+2)(\overline{z+2})=4(z-1)(\overline{z-1})$

$(z+2)(\overline{z}+2)=4(z-1)(\overline{z}-1)$

$展開してまとめると \qquad z\overline{z}-2z-2\overline{z}=0$

$(z-2)(\overline{z}-2)=4 \qquad (z-2)(\overline{z-2})=4$

$|z-2|^2=4 \qquad \therefore \ \ |z-2|=2$


$(補充)$

$B(-2,\ 0),\ D(1,\ 0) ,\ P(x,\ y)\ \ とおくと \ \ |z+2|=2|z-1|\ \ は \ \ PB=2PD ,\ すなわち \ \ PB:PD=2:1 $

$定点までの距離の比が一定な点の軌跡であるから、アポロニウスの円となる。$


(2)


$\{|z+2|-2|z-1|\} |z+6i|=3\{|z+2|-2|z-1|\}|z-2i| \quad より$

$\{|z+2|-2|z-1|\} \{3|z-2i|-|z+6i|\}=0$

$|z+2|-2|z-1|=0 \quad は(1)に同じ$

$3|z-2i|-|z+6i|=0 \quad より$

$z=x+yi\ \ (x,\ y\ は実数)\ \ とおいて両辺を平方すると$

　

$9|x+(y-2)i|^2=|x+(y+6)i|^2$

$9\{x^2+(y-2)^2\}=x^2+(y+6)^2$

$x^2 +y^2-6y=0 $

$x^2+(y-3)^2=9$

$これは\ \ 中心 B(0,\ 3),\ \ 半径 \ \ 3\ の円を表している。$

$このように、図形 \ S\ は \ 2\ つの円からなっていて、そのグラフは$
$右図のとおりである。$


(3)


(i)$\ \ 点\ z\ が \quad |z+2|=2|z-1|\ \ 上にあるとき$

$\quad 両辺を \ |z|\ で割って \qquad \cfrac{|z+2|}{|z|}=\cfrac{2|z-1|}{|z|}$

$\quad \big|1+\cfrac{2}{z}\big|=2\big|1-\cfrac{1}{z}\big|$

$\quad |1+2w|=2|1-w|$

$\quad |w+\cfrac{1}{2}|=|w-1|$

$\quad w=x+yi \ \ (x,\ y\ は実数)\ \ とおいて両辺を平方すると$

$\quad |x+\cfrac{1}{2}+yi|^2=|x-1+yi|^2$

$\quad (x+\cfrac{1}{2})^2+y^2=(x-1)^2+y^2$

$\quad \therefore \ \ x=\cfrac{1}{4}$

　

(ii)$\ \ 点\ z\ が \quad 3|z-2i|=|z+6i|\ \ 上にあるとき$

$\quad 両辺を \ |z|\ で割って \qquad \cfrac{3|z-2i|}{|z|}=\cfrac{|z+6i|}{|z|}$

$\quad 3|1-2iw|=|1+6iw|$

$\quad 3|-2i(w-\cfrac{1}{2i})|=|6i(w+\cfrac{1}{6i})|$

$\quad |w+\cfrac{i}{2}|=|w-\cfrac{i}{6}|$

$\quad w=x+yi \ \ (x,\ y\ は実数)\ \ とおいて両辺を平方すると$

$\quad |x+(y+\cfrac{1}{2})i|^2=|x+(y-\cfrac{1}{6})i|^2$

$\quad x^2+(y+\cfrac{1}{2})^2=x^2+(y-\cfrac{1}{6})^2$

$\quad \therefore \ \ y=-\cfrac{1}{6}$

$w\ が描く図形は \ 2\ つの直線からなっていて、そのグラフは右図のとおりである。$


$なお、複素数平面上の直線と円については($複素数平面上の直線と円$)も参考にしてください。$


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