筑波大学(理系) 2020年 問題6
$iは虚数単位とする。複素数zに対して、その共役複素数を\overline{z}で表す。複素数平面上で、次の等式を満たす$
$点zの全体が表す図形をCとする。$
$\hspace{3em} z\overline{z}+(1+3i)z+(1-3i)\overline{z}+9=0$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 図形Cを複素数平面上に描け。$
$(2)\ \ 複素数\omega に対して、\alpha =\omega +\overline{\omega}-1、\beta =\omega +\overline{\omega}+1\ \ とする。\omega,\ \alpha,\ \beta \ \ が表す複素数平面上の点を$
$\quad それぞれ \ P,\ A,\ B\ とする。点PはC上を動くとする。\triangle PABの面積が最大となる複素数\omega ,および$
$\quad そのときの \ \triangle PAB\ の外接円の中心と半径を求めよ。$
$(解説)$
$(1)は式をみて、円を表すとわかればいいのですが。$
$(2)は\triangle PABの面積が最大となるのは底辺ABが一定であることから、高さが最大になればよいことに$
$\quad 気づけば計算は簡単です。$
$\quad 外接円の中心(外心)は、定義から求めてもよいですし、円周角の定理を使っても求まります。$
(1)
$\quad \gamma =1-3i \ \ とおくと \qquad z\overline{z}+(1+3i)z+(1-3i)\overline{z}+9=0 \ \ は$
$\quad z\overline{z}+\overline{\gamma}z+\gamma \overline{z}+9=0 $
$\quad (z+\gamma )(\overline{z}+\overline{\gamma})=-9+\gamma \overline{\gamma}$
$\quad (z+\gamma )(\overline{z+\gamma})=-9+10$
$\quad |z+\gamma |^2=1$
$\quad |z+\gamma |=1$
$したがって \quad z\ は \quad 中心 \ \ -\gamma=-1+3i \quad 半径 \ 1\ の円を描く。$
$(別解)$
$\quad z=x+yi \quad とおくと \qquad z\overline{z}+(1+3i)z+(1-3i)\overline{z}+9=0 \ \ は$
$\quad x^2+y^2+(1+3i)(x+yi)+(1-3i)(x-yi)+9=0$
$\quad x^2+y^2+2x-6y+9=0$
$\quad (x+1)^2+(y-3)^2=1$
$複素数平面上で、中心 \quad -1+3i,\quad 半径 \ 1\ の円を描く$
$複素数平面上の円については($複素数平面上の直線と円$)を参考にしてください。$
(2)
$\quad \triangle PABの面積が最大となるのは$
$\quad \alpha =\omega +\overline{\omega}-1、\beta =\omega +\overline{\omega}+1 \quad より$
$\quad AB=|\beta -\alpha |=2 \quad で底辺は一定だから高さ、すなわち点Pと実軸の$
$\quad 距離が最大のときである。$
$\quad それは明らかに、\omega =-1+4i \quad のときである。$
$このとき$
$\quad \alpha =(-1+4i)+(-1-4i)-1=-3$
$\quad \beta =(-1+4i)+(-1-4i)+1=-1$
$\triangle PABにおいて、\angle B=90 °だから円周角の定理により$
$APが直径となる。$
$したがって、外接円の$
$\qquad 中心DはAPの中点となるから \quad D(-2+2i)$
$\quad DA^2=|-3-(-2+2i)|^2=|-1-2i|^2=5 \quad より$
$\qquad 半径は \quad DA=\sqrt{5}$
$(別解)$
$三角形の外心は、3辺の垂直二等分線の交点だから$
$\quad 辺ABの垂直二等分線は \quad z=-2$
$\quad 辺PBの垂直二等分線は \quad z=2i$
$よって、交点は \quad -2+2i$
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