筑波大学（理系）2019年前期 問題2
$以下の問いに答えよ。$
$(1) \quad a,b,c,x,y,z,Mは正の実数とする。\cfrac{x}{a},\cfrac{x}{b},\cfrac{z}{c}\ がすべてM以下のとき、\cfrac{x+y+z}{a+b+c} \leqq M \ であることを示せ。$
$(2) \quad \log _2 5 と\log _3 5 の大小を比較せよ。$
$(3) \quad nが正の整数のとき、1 < \cfrac{1+\log _2 5 +(\log _2 5)^n}{1+\log _3 5 +(\log _3 5)^n} <2^n \ \ であることを示せ。$
(1)
$\quad \cfrac{x}{a} \leqq M ,\quad \cfrac{y}{b} \leqq M ,\quad \cfrac{z}{c} \leqq M \ \ より x \leqq Ma,\quad y \leqq Mb,\quad z \leqq Mc$
$辺々加えて \quad x+y+z \leqq M(a+b+c) $
$a+b+c > 0 \ \ だから \quad \cfrac{x+y+z}{a+b+c} \leqq M$
(2)
$対数の底は10とし、省略する。$
$\quad \log 3 > \log 2 \ \ だから$
$\quad \log _2 5 - \log _3 5=\cfrac{\log 5}{\log 2}-\cfrac{\log 5}{\log 3}=\cfrac{\log 5(\log 3 - \log 2)}{\log 2 \log 3} > 0$
$\quad \therefore \ \log _2 5 > \log _3 5$
(3)
$\quad \log _3 5 > \log _3 1=0 \ \ だから$
$\quad \cfrac{\log _2 5}{\log _3 5}=\cfrac{\dfrac{\log 5}{\log 2}}{\dfrac{\log 5}{\log 3}}=\cfrac{\log 3}{\log 2}=\log _2 3 < \log _2 4=\log _2 2^2=2$
$\quad \therefore 0 < \cfrac{\log _2 5}{\log _3 5} < 2$
$両辺 n乗して \quad 0 < \cfrac{(\log _2 5)^n}{(\log _3 5)^n} < 2^n$
$また、1 < 2^n, \quad \cfrac{\log _2 5}{\log _3 5} < 2 < 2^n \ \ だから$
$(1) で M=2^n \ \ として$
$\quad \cfrac{1+\log _2 5 +(\log _2 5)^n}{1+\log _3 5 +(\log _3 5)^n} <2^n \hspace{15em}(1)$
$また、(2) より \log _2 5 > \log _3 5 \ \ だから$
$\quad \{1+\log _2 5 +( \log _2 5)^n\}-\{1+\log _3 5 +( \log _3 5)^n\}=(\log _2 5 -\log _3 5 )+\{( \log _2 5)^n -( \log _3 5)^n\} > 0$
$\therefore \therefore \{1+\log _2 5 +( \log _2 5)^n\} > \{1+\log _3 5 +( \log _3 5)^n\}$
$右辺は正だから$
$\quad \cfrac{1+\log _2 5 +( \log _2 5)^n}{1+\log _3 5 +( \log _3 5)^n} >1 \hspace{15em}(2)$
$(1)(2)より \quad 1 < \cfrac{1+\log _2 5 +(\log _2 5)^n}{1+\log _3 5 +(\log _3 5)^n} <2^n $
$※\ \ 設問の不等式は一般化できますので($分数型不等式(1)$)を参照してください。$
メインメニュー に戻る