分数型不等式(1)
$これは、2019年度筑波大学前期（理系）の入試問題2の不等式を一般化したものです。$
$設問は($筑波大学(理系)2019年前期 問題2$)を参照してください。$
$\quad (1)\ \ a_k,b_k \ (k=1,2,\cdots n)\ \ は正の実数とする。\cfrac{a_k}{b_k}(k=1,2,\cdots n)のうち最大をM,最小をLとすると$
$定理1 \hspace{3em} L \leqq \cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{b_1+b_2+ \cdots + b_n} \leqq M$
$(証明)$
$\qquad L \leqq \cfrac{a_k}{b_k} \leqq M \ \ より L b_k \leqq a_k \leqq M b_k$
$k=1,2,\cdots ,n \ \ として辺々加えると$
$\quad L(b_1+b_2+\cdots +b_n) \leqq a_1+a_2+\cdots +a_n \leqq M(b_1+b_2+\cdots +b_n) $
$\qquad \therefore L \leqq \cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{b_1+b_2+ \cdots + b_n} \leqq M$
$\quad (2)\ \ p_k \ (k=1,2,\cdots n)\ \ は正の実数とする。$
$定理2 \hspace{3em} L \leqq \cfrac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots +p_na_n}{p_1b_1+p_2b_2+ \cdots + p_nb_n} \leqq M$
$(証明)$
$ L b_k \leqq a_k \leqq M b_k \ \ の両辺の各項は正だから、両辺に\ p_k>0 \ \ をかけて \quad L p_k b_k \leqq p_k a_k \leqq M p_k b_k$
$k=1,2,\cdots ,n \ \ として辺々加えると$
$\quad L(p_1 b_1+p_2 b_2+\cdots +p_n b_n) \leqq p_1 a_1+p_2 a_2+\cdots +p_n a_n \leqq M(p_1 b_1+p_2 b_2+\cdots +p_n b_n) $
$\qquad \therefore L \leqq \cfrac{p_1 a_1+p_2 a_2+\cdots +p_n a_n}{p_1b_1+p_2 b_2+ \cdots + p_n b_n} \leqq M$
$\quad (3)\ \ mは自然数とする。$
$定理3 \hspace{3em} L \leqq \cfrac{p_1a_1^m+p_2a_2^m +\cdots +p_na_n^m }{p_1b_1^m +p_2b_2^m + \cdots + p_nb_n^m } \leqq M$
$(証明)$
$L b_k \leqq a_k \leqq M b_k \ \ の両辺の各項は正だから$
$m乗して \qquad L^m b_k^m \leqq a_k^m \leqq M^m b_k^m$
$両辺にp_k>0 をかけて \qquad L^m p_k b_k^m \leqq p_k a_k^m \leqq M^mp_k b_k^m$
$k=1,2,\cdots ,n \ \ として辺々加えると$
$\quad L^m(p_1 b_1^m+p_2 b_2^m+\cdots +p_n b_n^m) \leqq p_1 a_1^m+p_2 a_2^m+\cdots +p_n a_n^m \leqq M^m(p_1 b_1^m+p_2 b_2^m+\cdots +p_n b_n^m) $
$\qquad \therefore L^m \leqq \cfrac{p_1 a_1^m+p_2 a_2^m+\cdots +p_n a_n^m}{p_1b_1^m+p_2 b_2^m+ \cdots + p_n b_n^m} \leqq M^m$
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