MY MATH NOTE

置換の変換群

　
$長方形の対称変換については($平面図形の対称変換$)を参照してください。$

$\quad e:恒等変換$
$\quad \omega:中心Oのまわりの180°の回転$
$\quad p:x軸に関する折返し$
$\quad q:y軸に関する折返し$

\[ e= \left( \begin{array}{rrrr} A & B & C & D\\ A & B & C & D\\ \end{array} \right) \qquad \omega= \left( \begin{array}{rrrr} A & B & C & D\\ C & D & A & B\\ \end{array} \right) \qquad p= \left( \begin{array}{rrrr} A & B & C & D\\ D & C & B & A\\ \end{array} \right) \qquad q= \left( \begin{array}{rrrr} A & B & C & D\\ B & A & D & C\\ \end{array} \right) \]
$各置換の演算表は$
\[ \begin{array}{c|c c } \ \times \ &\ e\ &\ \omega\ &\ p\ &\ q\\ \hline \ e\ & e & \omega & p　 & q \\ \ \omega \ & \omega & e & q & p\\ \ p\ & p & q & e & \omega\\ \ q\ & q & p & \omega & e\\ \end{array} \]
$G=\{e,\ \omega,\ p,\ q\}\ \ において、t \ を \ G \ の元として$

$\quad 変換 \quad \phi_t:x \longrightarrow xt \quad (x \in G)\ \ を考える。$

$例えば、\phi_\omega:x \longrightarrow x\omega \quad (x \in G)\ \ は$

$\qquad e \rightarrow e\omega=\omega,\quad \omega\rightarrow \omega\omega=e,\quad p \rightarrow p\omega=q,\quad q \rightarrow q\omega=p$

\[ これは、G \ の置換で \quad \phi_\omega = \left( \begin{array}{rrrr} e & \omega & p & q\\ \omega & e & q & p\\ \end{array} \right) \quad となる。 \] $同様にして$

$\quad \phi_e:x \longrightarrow xe \quad (x \in G)\ \ は$
\[ e \rightarrow ee=e,\quad \omega \rightarrow \omega e=\omega ,\quad p \rightarrow pe=p,\quad q \rightarrow qe=q \qquad より \quad \phi_e = \left( \begin{array}{rrrr} e & \omega & p & q\\ e & \omega & p & q\\ \end{array} \right) \] $\quad \phi_p:x \longrightarrow xp \quad (x \in G)\ \ は$
\[ e \rightarrow ep=p,\quad \omega \rightarrow \omega p=q ,\quad p \rightarrow pp=e,\quad q \rightarrow qp=\omega \qquad より \quad \phi_p = \left( \begin{array}{rrrr} e & \omega & p & q\\ p & q & e & \omega\\ \end{array} \right) \] $\quad \phi_q:x \longrightarrow xq \quad (x \in G)\ \ は$
\[ e \rightarrow eq=q,\quad \omega \rightarrow \omega q=p ,\quad p \rightarrow pq=\omega,\quad q \rightarrow qq=e \qquad より \quad \phi_q = \left( \begin{array}{rrrr} e & \omega & p & q\\ q & p & \omega & e\\ \end{array} \right) \] $こうして、変換の集合 \ \ G'=\{\phi_e,\ \phi_\omega,\ \phi_p,\ \phi_q\} \ \ が得られました。$

$G'の元は置換ですから積が考えられます。$

$例えば$
\[ \phi_\omega \phi_p= \left( \begin{array}{rrrr} e & \omega & p & q\\ \omega & e & q & p\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} e & \omega & p & q\\ p & q & e & \omega\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} e & \omega & p & q\\ q & p & \omega & e\\ \end{array} \right) = \phi_q =\phi_{\omega p} \]
$これからわかるように$

$\quad \omega \longleftrightarrow \phi_\omega ,\quad p \longleftrightarrow \phi_p \quad ならば \quad \omega p=q \quad \longleftrightarrow \quad \phi_\omega \phi_p = \phi_q= \phi_{\omega p}$

$となって、積も対応しているのがわかります。$


$すべての \ G' \ の元 \ \ \phi_t \ の演算をおこなった結果は下表のとおりです。$
\[ \begin{array}{c|c c } \ \times \ &\ \phi_e\ &\ \phi_\omega\ &\ \phi_p\ &\ \phi_q\\ \hline \ \phi_e\ & \phi_e & \phi_\omega & \phi_p　 & \phi_q \\ \ \phi_\omega \ & \phi_\omega & \phi_e & \phi_q & \phi_p\\ \ \phi_p\ & \phi_p & \phi_q & \phi_e & \phi_\omega\\ \ \phi_q\ & \phi_q & \phi_p & \phi_\omega & \phi_e\\ \end{array} \]
$この演算表から、変換の集合 \ G'=\{\phi_e,\ \phi_\omega,\ \phi_p,\ \phi_q\} \ について$

(i)$\ \ 演算について閉じている。$
(ii)$\ \ 結合律は成りたつ$
(iii)$\ \ 単位元は \ \ \phi_e$
(iv)$\ \ 逆元は \quad (\phi_e)^{-1}=\phi_e,\quad (\phi_\omega)^{-1}=\phi_{\omega ^{-1}}=\phi _\omega , \quad (\phi_p)^{-1}=\phi_{p ^{-1}}=\phi _p,\quad (\phi_q)^{-1}=\phi_{q ^{-1}}=\phi _q$

(i)～(iv)$より \ G' \ は変換群となることがわかりました。もちろん、G \sim G' \ \ (同型対応)です。$



$例2 \quad 5を法とする整数の加法群から作られる変換群$

$\quad 5\ を法とする加法の演算表は$
\[ \begin{array}{c|c c } \ + \ &\ 0\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 0\ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \ 1\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ \ 2\ & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\ \ 3\ & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\ \ 4\ & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \]
$G=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}\ \ において、t \ を \ G \ の元として$

$\quad 変換 \quad \phi_t:x \longrightarrow x+t \quad (x \in G)\ \ を考えます。\quad (G\ での演算は加法ですから、x+t \ を考えるわけです。)$

\[ \phi_0:x \longrightarrow x+0 \quad (x \in G)\ \ は \quad \phi_0 = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \end{array} \right) \] \[ \phi_1:x \longrightarrow x+1 \quad (x \in G)\ \ は \quad \phi_1 = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0\\ \end{array} \right) \] \[ \phi_2:x \longrightarrow x+2 \quad (x \in G)\ \ は \quad \phi_2 = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \] \[ \phi_3:x \longrightarrow x+3 \quad (x \in G)\ \ は \quad \phi_3 = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 0 & 1 & 2\\ \end{array} \right) \] \[ \phi_4:x \longrightarrow x+4 \quad (x \in G)\ \ は \quad \phi_4 = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \end{array} \right) \]
$こうして、変換の集合 \ \ G'=\{\phi_0,\ \phi_1,\ \phi_2,\ \phi_3,\ \phi_4\} \ \ が得られます。$

$G'の元は置換ですから積が考えられます。$

$例えば$
\[ \phi_1 \phi_3= \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 0 & 1 & 2\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \end{array} \right) = \phi_4 =\phi_{1+3} \]
$すべての \ G' \ の元 \ \ \phi_t \ の演算をおこなった結果は省略しますが、G' \ は変換群となります。$
$是非確認してみてください。$



　

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