東京工業大学(理系) 2023年 問題1
\[実数 \ \ \int _0^{2023} \cfrac{2}{x+e^x}dx \ \ の整数部分を求めよ。\]
\[I=\int _0^{2023} \cfrac{2}{x+e^x}dx \quad とおく\]
$(1)\ \ 積分値をできる限り小さい値の上界で押さえる$
$0 \leqq x \ \quad だから \quad x + e^x \geqq e^x \quad したがって \quad \cfrac{2}{x+e^x} \leqq \cfrac{2}{e^x}$
\begin{eqnarray*} I &<& \int _0^{2023} \cfrac{2}{e^x}dx \\ \\ &=& \int _0^{2023} 2e^{-x}dx \\ \\ &=& -2\big[e^{-x}\big] _0^{2023} \\ \\ &=&2(1-e^{-2023})\\ \\ &<&2 \end{eqnarray*}
$(2)\ \ 積分値をできる限り大きい値の下界で押さえる$
$f(x)=\cfrac{2}{x+e^x} \quad とおくと \quad f'(x)=-\cfrac{2(1+e^x)}{(x+e^x)^2} < 0 \quad よって \ \ f(x)\ は単調減少$
\begin{eqnarray*} f''(x) &=&-2 \times \cfrac{e^x(x+e^x)^2-(1+e^x) \times 2(x+e^x)(1+e^x)}{(x+e^x)^4}\\ \\ &=&-2 \times \cfrac{e^x(x+e^x)-2(1+e^x)^2}{(x+e^x)^3}\\ \\ &=&\cfrac{2(2+4e^x +e^{2x} -xe^x)}{(x+e^x)^3}\\ \end{eqnarray*} $g(x)=2+4e^x +e^{2x} -xe^x \quad とおくと$
$g'(x)=4e^x+2e^{2x}-e^x-xe^x=(3+2e^x-x)e^x > 0$
$g(x)\ は単調増加だから \quad g(x) > g(0)=7 > 0$
$よって \quad f''(x) > 0 \ \ となり \ f(x)\ は下に凸の単調減少関数である。$
$したがって \quad x > 0\ の曲線上の点における接線は、曲線 \ y=f(x)\ の下にある。$
$\quad (このことについては($曲線の凹凸$)を参考にしてください)$
$点P(1,\ \cfrac{2}{1+e})\ における接線の方程式は$
$f'(1)=-\cfrac{2(1+e)}{(1+e)^2}=-\cfrac{2}{1+e} \quad だから$
$y=-\cfrac{2}{1+e}(x-1)+\cfrac{2}{1+e}$
$y=-\cfrac{2}{1+e}x+\cfrac{4}{1+e}$
$y\ 軸との交点 \ B\ は \ \ x=0\ \ として \ \ y= \cfrac{4}{1+e} \quad B(0,\ \cfrac{4}{1+e})$
\begin{eqnarray*} I &>&\triangle OAB\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \times OA \times OB\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \times 2 \times \cfrac{4}{1+e} \\ \\ &=&\cfrac{4}{1+e} \\ \\ &>&1 \hspace{5em} (e < 3 \ \ だから) \end{eqnarray*}
$(1),(2)より \quad 1 < I < 2$
$したがって\ \ I\ の整数部分は \ 1$
$(補充)$
$Excel \ でシンプソンの公式を用いて計算すると \quad I=1.61 \quad であった。$
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