東北大学(理系) 2021年　問題6


$以下の問いに答えよ。$
$\quad (1)\ \ 正の実数 \ a\ と正の整数 \ n\ に対して次の等式が成り立つことを示せ。ただし、e\ は自然対数の底とする。$
\[\qquad e^a=1+a+\cfrac{a^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{a^n}{n!}+ \int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^xdx\] $\quad (2)\ \ 正の実数 \ a\ と正の整数 \ n\ に対して次の不等式を示せ。$
\[\qquad \cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!} \leqq \int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^xdx \leqq \cfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!}\] $\quad (3)\ \ 不等式 \ \ \big|e-\big(1+1+\cfrac{1}{2!}+\cdots + \cfrac{1}{n!}\big)\big| < 10^{-3}$
$\qquad を満たす最小の正の整数 \ n\ を求めよ。必要ならば \ \ 2 < e < 3 \ \ であることは証明なしに用いてもよい。$


$(解説)$

$(1)はちょっと思いつきませんが、積分項を部分積分して示します。$
$(2)は(1)もつかいますが、積分区間で押さえます。$
$(3)は(1)と(2)をつかって示します。$

(1)


\[I_n=\int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^xdx \quad とおき、部分積分法を用いて\] \begin{eqnarray*} I_n &=&\big[\cfrac{(a-x)^n}{n!}e^x \big]_0^a +\int _0^a \cfrac{n(a-x)^{n-1}}{n!}e^xdx \\ \\ &=&-\cfrac{a^n}{n!} +\int _0^a \cfrac{(a-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^xdx \\ \\ &=&-\cfrac{a^n}{n!} +I_{n-1}\\ \end{eqnarray*} \[I_0=\int _0^a e^xdx=\big[e^x\big]_0^a=e^a-1 \quad だから\] \begin{eqnarray*} I_n &=&-\cfrac{a^n}{n!} +I_{n-1}\\ &=&-\cfrac{a^n}{n!} - \cfrac{a^{n-1}}{(n-1)!} +I_{n-2}\\ &=& \qquad \vdots\\ &=&-\cfrac{a^n}{n!} - \cfrac{a^{n-1}}{(n-1)!} - \cdots - \cfrac{a}{1!} +I_{0}\\ &=&-\cfrac{a^n}{n!} - \cfrac{a^{n-1}}{(n-1)!} - \cdots - a +e^a-1\\ \end{eqnarray*} $よって$
\[e^a=1+a+\cfrac{a^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{a^n}{n!}+ I_n=1+a+\cfrac{a^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{a^n}{n!}+ \int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^xdx \]

(2)


(i)
\[e^a=1+a+\cfrac{a^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{a^n}{n!}+ \int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^xdx \quad で\] $\ \ n \rightarrow n+1 \ \ とおくと$
\[e^a=1+a+\cfrac{a^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{a^n}{n!}+ \cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}+\int _0^a \cfrac{(a-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^xdx \] $辺々引いて$

\[\int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^xdx=\cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}+\int _0^a \cfrac{(a-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^xdx \] $ここで、\quad 0 \leqq x \leqq a \quad より \quad 0 \leqq a-x \leqq a \qquad 　0 \leqq (a-x)^{n+1} \leqq a^{n+1}$

$よって$
\begin{eqnarray*} \int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^xdx &\leqq &\cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}+\int _0^a \cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}e^xdx \\ &=&\cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}+\cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}(e^a-1)\\ \\ &=&\cfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!}\\ \end{eqnarray*}
(ii)
$\quad x \geqq 0 \quad だから \quad 1 \leqq e^x \quad よって \quad \cfrac{(a-x)^n}{n!} \leqq \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^x$
\[\int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}dx \leqq \int _0^a\cfrac{(a-x)^n}{n!}e^x dx\] $\qquad 左辺=\big[-\cfrac{(a-x)^{n+1}}{(n+1)n!}\big]_0^a=\cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}$

\[\therefore \ \ \cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!} \leqq \int _0^a\cfrac{(a-x)^n}{n!}e^x dx\]
(i),(ii) より
\[\cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!} \leqq \int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^xdx \leqq \cfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!}\]

(3)


$(1)より$
　 \[\int _0^a \cfrac{(a-x)^n}{n!}e^xdx =e^a-(1+a+\cfrac{a^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{a^n}{n!}) \] $(2)より$
　
$\qquad \cfrac{a^{n+1}}{(n+1)!} \leqq e^a-(1+a+\cfrac{a^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{a^n}{n!}) \leqq \cfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!}$

$a=1 \quad とおくと$

$\qquad \cfrac{1}{(n+1)!} \leqq e-(1+1+\cfrac{1}{2!}+ \cdots + \cfrac{1}{n!}) \leqq \cfrac{e}{(n+1)!}$

$したがって \quad \cfrac{e}{(n+1)!} < 10^{-3} \quad であればよい$

$(n+1)! > 10^3e \ \ を満たす最小の整数は$

$2 < e < 3 \quad より \quad 2000 < 10^3e < 3000$

$6!=720,\quad 7!=5040 \quad だから \quad n=6 $

　
$右表はExcel で求めた値で、誤差は$

$\quad n=5 \ \ では \quad 0.0016 \ \ \ だから \ \ \ 10^{-2}$
$\quad n=6 \ \ では \quad 0.00022 \ \ だから \ \ \ 10^{-3}$
$\quad n=7 \ \ では \quad 0.0000027 \ \ だから \ \ 10^{-5}$

$程度であることがわかります。$


$(研究)$

$f(x)\ と \ f(x)\ のテーラー展開$

$\qquad f(a)+\cfrac{f'(a)}{1!}(x-a)+\cfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots $

$の第 \ n\ 項までの和との差を剰余項といいます。$

$f(x) が \ C^{n+1}\ 級のとき剰余項は$
\[f(x)-\Big\{f(a)+\cfrac{f'(a)}{1!}(x-a)+\cfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\cfrac{f^n (a)}{n!}(x-a)^n \Big\}=\cfrac{1}{n!}\int _0^x(x-t)^nf^{n+1}(t)dt\] $と表されますが、証明は本問と全く同じです。$

$ただし、本問は \ a=0\ の場合で、これをマクローリン展開といいます。$
$そして、f(x)=e^x \ \ で \ x\ を \ a\ に置き換えてあります。$


$また上で示した$

$\qquad \cfrac{1}{(n+1)!} \leqq e-(1+1+\cfrac{1}{2!}+ \cdots + \cfrac{1}{n!}) \leqq \cfrac{e}{(n+1)!}$

$で、n \rightarrow \infty \ \ とすると \quad 左辺 \rightarrow 0,\quad 右辺 \rightarrow 0 \quad だから$
\[e=\sum _{n=0}^{\infty}\cfrac{1}{n!}\] $と表されます。また、この式から \ e\ が無理数であるこが証明されます。$
$このことについては(\ $eの無理数性$\ )を参考にしてください。$



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