eの無理数性
(1) 剰余項
\[I_n=\int _0^x \cfrac{(x-t)^n}{n!}e^tdt \quad を部分積分すると\] \begin{eqnarray*} I_n &=&\big[\cfrac{(x-t)^n}{n!}e^t \big]_0^x +\int _0^x \cfrac{n(x-t)^{n-1}}{n!}e^tdt \\ \\ &=&-\cfrac{x^n}{n!} +\int _0^x \cfrac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}e^tdt \\ \\ &=&-\cfrac{x^n}{n!} +I_{n-1}\\ \end{eqnarray*} \[I_0=\int _0^x e^tdt=\big[e^t\big]_0^x=e^x-1 \quad だから\] \begin{eqnarray*} I_n &=&-\cfrac{x^n}{n!} +I_{n-1}\\ &=&-\cfrac{x^n}{n!} - \cfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} +I_{n-2}\\ &=& \qquad \vdots\\ &=&-\cfrac{x^n}{n!} - \cfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} - \cdots - \cfrac{x}{1!} +I_{0}\\ &=&-\cfrac{x^n}{n!} - \cfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} - \cdots - \cfrac{x}{1!} +e^x-1\\ \end{eqnarray*} $\quad よって$
\[e^x=1+\cfrac{x}{1!}+\cfrac{x^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{x^n}{n!}+ I_n=1+\cfrac{x}{1!}+\cfrac{x^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{x^n}{n!}+ \int _0^x \cfrac{(x-t)^n}{n!}e^tdt \]
$\quad これを \ e^x\ のテーラー展開といい、積分項を剰余項といいます。$
(2)eの無限級数表現
$\quad t\ を有限な区間 \ [a,\ b]\ のある値とし、e^b=c \ \ とおくと \quad |\ e^t\ | \leqq c$
\begin{eqnarray*} \big|\int _0^x \cfrac{(x-t)^n}{n!}e^tdt \big| &\leqq& \cfrac{1}{n!}\int _0^x |x-t|^n c\ dt\\ &=& \cfrac{c}{n!}\big[-\cfrac{(x-t)^{n+1}}{n+1}\big]_0^x\\ &=& \cfrac{c}{n!}\cdot \cfrac{x^{n+1}}{n+1}\\ &=& \cfrac{c\ x^{n+1}}{(n+1)!}\\ \end{eqnarray*} $x\ を固定し、n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad \cfrac{c\ x^{n+1}}{(n+1)!} \longrightarrow 0 \quad だから$
$\qquad 1+\cfrac{x}{1!}+\cfrac{x^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{x^n}{n!}+ \cdots \quad は収束して和は \ \ e^x \ \ となる。$
$とくに \quad x=1 \quad とおくと$
$\qquad e=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+ \cdots + \cfrac{1}{n!}+ \cdots $
(3)eの値の範囲
$n \geqq 2 \quad として$
$\quad e=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+ \cdots + \cfrac{1}{n!}+ \cdots \quad より$
$\qquad e > 1+\cfrac{1}{1!}=2 $
$また$
$\quad \cfrac{1}{n!}=\cfrac{1}{n(n-1)(n-2)\cdots 3 \cdot 2} < \cfrac{1}{2\cdot 2\cdot \cdots 2}=\cfrac{1}{2^{n-1}} \quad より$
\begin{eqnarray*} e &<& 1+\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{2}+ \cfrac{1}{2^2}\cdots + \cfrac{1}{2^{n-1}}+ \cdots\\ \\ &=&1+\cfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}\\ \\ &=&3\\ \end{eqnarray*}
$よって \qquad 2 < e < 3$
(4)eの無理数性の証明(1)
$\quad S_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+ \cdots + \cfrac{1}{n!} \quad とおくと$
\begin{eqnarray*} e-S_n &=&\cfrac{1}{(n+1)!}+ \cfrac{1}{(n+2)!}+\cfrac{1}{(n+3)!}+\cdots \\ \\ &=&\cfrac{1}{(n+1)n!}+ \cfrac{1}{(n+2)(n+1)n!}+\cfrac{1}{(n+3)(n+2)(n+1)n!}+ \cdots \\ \\ &=&\cfrac{1}{n!}\big(\cfrac{1}{n+1}+ \cfrac{1}{(n+1)(n+2)}+\cfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ \cdots \big)\\ \\ &<&\cfrac{1}{n!}\big(\cfrac{1}{n+1}+ \cfrac{1}{(n+1)^2}+\cfrac{1}{(n+1)^3}+ \cdots \big)\\ \\ &<&\cfrac{1}{n!} \times \cfrac{\dfrac{1}{n+1}}{1- \dfrac{1}{n+1}}\\ \\ &=&\cfrac{1}{n!\ n}\\ \end{eqnarray*}
$したがって 0 < e-S_n < \cfrac{1}{n!\ n}$
$e\ の無理数性を背理法で示します。$
$もし \ e\ が有理数であるとすると互いに素な整数 \ p,\ q\ (q \geqq 2) \ を用いて \ \ e=\cfrac{p}{q}\quad とおける。$
$\quad 0 < \cfrac{p}{q}-S_n < \cfrac{1}{n!\ n}$
$\quad 0 < \cfrac{p\ n!}{q}-n!\ S_n < \cfrac{1}{n} < 1$
$n!\ S_n は整数であり、また、n > q \ \ となるような十分大きな \ n\ をとると \ \ \cfrac{n!}{q}\ は整数となるから$
$(0,\ 1)\ に整数が存在することになり、これは矛盾である。$
(5)eの無理数性の証明(2)
$\quad n \geqq 2 \quad とする。$
\[(1)で導いた \quad e^x=1+\cfrac{x}{1!}+\cfrac{x^2}{2!}+ \cdots + \cfrac{x^n}{n!}+ \int _0^x \cfrac{(x-t)^n}{n!}e^tdt \quad に\] $\quad x=1 \quad とおくと \quad 0 \leqq t \leqq 1 \quad のとき \quad 1 \leqq e^t \leqq e \quad だから $
\begin{eqnarray*} e &=&1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+ \cdots + \cfrac{1}{n!}+ \int _0^1 \cfrac{(1-t)^n}{n!}e^tdt \\ \\ &<&1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+ \cdots + \cfrac{1}{n!}+ \cfrac{e}{n!}\int _0^1 (1-t)^ndt \\ \\ &<&1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+ \cdots + \cfrac{1}{n!}+ \cfrac{e}{n!}\cdot \cfrac{1}{n+1}\\ \\ &=&\sum_{k=0}^n \cfrac{1}{k!}+ \cfrac{e}{n!}\cdot \cfrac{1}{n+1}\\ \end{eqnarray*} $よって$
\[n!\ e-\sum_{k=0}^n \cfrac{n!}{k!}=\cfrac{e}{n+1}\] $(3)より \quad 2 < e < 3 \quad だから \quad \cfrac{e}{n+1} < \cfrac{3}{3}=1$
$\cfrac{n!}{k!}\ \ は整数であり、e\ が有理数 \ \ \cfrac{m}{n} \quad ならば \quad n \geqq 2 \quad だから \quad n!\ e \ \ も整数となる。$
$よって \ (0,\ 1)\ に整数が存在することになり、これは矛盾である。$
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