東北大学(理系) 2020年 問題6
$正の整数m,nに対して実数A(m,n)を次の定積分で定める。$
\[A(m,n)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^m x \ \sin ^n xdx\]
$\quad (1)\ \ 次の等式が成り立つことを示せ。$
$\hspace{3em} A(m,n)=A(n,m),\quad A(m+2,n)+A(m,n+2)=A(m,n)$
$\quad (2)\ \ A(m,1)を求めよ。$
$\quad (3)\ \ 次の等式が成り立つことを示せ。A(m,n+2)=\dfrac{n+1}{m+1}A(M+2,n)$
$\quad (4)\ \ mまたはnが奇数ならば、A(m,n)は有理数であることを示せ。$
$(解説)$
$正弦と余弦の累乗の積の定積分は高校ではまず見かけません。理系の大学の1年次の解析で扱う内容です。$
$(3)は(1)から導けるのではないかと考えると時間のロスになります。$
$(4)は(3)を使って示します。$
(1)
(i)$\ \ x=\dfrac{\pi}{2} -t \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} A(m,n) &=&\int _{\small{\dfrac{\pi}{2}}}^0\cos ^m (\dfrac{\pi}{2} -t)\ \sin ^n (\dfrac{\pi}{2} -t)(-dt)\\ &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^m t\ \cos ^n tdt\\ &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^n t \sin ^m t dt\\ \\ &=&A(n,m)\\ \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ A(m+2,n)+A(m,n+2)$
\begin{eqnarray*} &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^{m+2}x \ \sin ^n xdx + \int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^m x \ \sin ^{n+2} xdx\\ &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}(\cos ^{m+2}x \ \sin ^n x + \cos ^m x \ \sin ^{n+2} xdx\\ &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^mx \ \sin ^n x (\cos ^2 x +\sin ^2 x)dx\\ &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^mx \ \sin ^n x dx\\ \\ &=&A(m,n)\\ \end{eqnarray*}
(2)
\[ A(m,1)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^m x \ \sin xdx\] $\qquad \cos x=t \quad とおくと \quad -\sin xdx=dt$
\begin{eqnarray*} A(m,1) &=&\int _1^0 t^m(-dt)\\ &=&\int _0^1 t^m dt\\ &=&\cfrac{1}{m+1} \end{eqnarray*}
$ちなみに$
$\qquad A(1,n)=A(n,1)=\cfrac{1}{n+1}$
(3)
$この解答は($正弦と余弦の累乗の定積分$)を参考にしてください。$
(4)
$この解答は($正弦と余弦の累乗の定積分$)を参考にしてください。$
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