東北大学(理系) 2019年 問題3
$a\ を実数とし、数列\{x_n \}を次の漸化式によって定める。$
$\qquad x_1=a,\quad x_{n+1}=x_n+x_n^2 \quad (n=1,2,3,\cdots)$
$(1)\ \ a> 0 \ \ のとき、数列\{x_n\}が発散することを示せ。$
$(2)\ \ -1 < a < 0 \ \ のとき、すべての正の整数 \ n\ に対して \quad -1 < x_n < 0 \ \ が成り立つことを示せ。$
$(3)\ \ -1 < a < 0 \ \ のとき、数列\{x_n\}の極限を調べよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 与えられた漸化式を解くことはかなり困難ですので、別の方法を考えます。$
$(2)\ \ このようなときこそ数学的帰納法の出番です。$
$(3)\ \ 0に収束するのはわかるのですが、どう説明するかです。やはり(2)をうまく使いましょう。$
(1)
$x_1 =a> 0 \quad より \quad x_2=x_1+x_1^2 \ne 0,\quad x_3=x_2+x_2^2 \ne 0,\quad \cdots $
$一般に \quad x_n \ne 0$
$x_{n+1} - x_n=x_n^2 > 0 \quad より \quad x_n < x_{n+1}$
$よって \{x_n\} は単調増加数列である。$
$\qquad 0 < a =x_1 < x_2 < \cdots < x_n < x_{n+1} < \cdots $
$ゆえに 数列\{x_n\}は +\infty に発散する。$
(2)
$数学的帰納法で示す。$
(i)$\ \ x_1=a \ \ で \ \ -1 < a < 0 \ \ だから \ \ -1 < x_1 < 0 $
$\quad よって \ \ n=1 \ \ のとき成りたつ$
(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \quad -1 < x_k < 0 $
$\quad このとき$
$\quad x_{k+1}=x_k+x_k^2=x_k(1+x_k) \ \ は \ \ x_k < 0,\quad 1+x_k > 0 \ \ だから \quad x_k(1+x_k) < 0$
$\quad よって \quad x_{k+1} < 0$
$\quad また$
$\quad 1+x_{k+1}=1+x_k+x_k^2=(x_k+\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4} > 0 \quad より \quad x_{k+1} > -1$
$\quad したがって \quad -1 < x_{k+1} < 0 \ \ となり \ \ n=k+1 \ \ のときも成りたつ。$
(i),(ii)$より、すべての正の整数 \ n\ について \quad -1 < x_n < 0$
(3)
$|x_{n+1}|=|x_n+x_n^2|=|x_n(1+x_n)|=|x_n||1+x_n|$
$ここで、(2)より \quad -1 < x_n < 0 \quad だから \quad 0 < 1+x_n < 1$
$\therefore \ \ |1+x_n| < 1 \quad よって \quad |x_{n+1}| < |x_n|$
$\qquad |x_1| > |x_2| > |x_3| > \cdots > |x_n| > |x_{n+1}| > \cdots > 0$
$すなわち \ \ |x_n| \ \ は下に有界な単調減少数列となるから$
$\qquad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad |x_n| \longrightarrow 0 \quad よって \quad x_n \longrightarrow 0$
$\qquad このことについては($単調数列の収束性$)を参考にしてください。$
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