単調数列の収束性
(1) 上限・下限
$実数の集合Aの任意の数xに対して、x \leqq M \ \ を満たす数MをAの上界といい、Aは上に有界であるという。$
$同様に、N \leqq x \ \ のときはNはAの下界、Aは下に有界といい、上にも下にも有界なときは、単に有界という。$
$Aの最小上界をAの上限といい、\sup A\ \ で表す。同様に、Aの最大下界をAの下限といい、\inf A\ \ で表す。$
$定理1 \quad \alpha が集合Aの上限であるための条件は$
(i)$\ \ \forall x \in A\ \ に対して \quad x \leqq \alpha $
(ii)$\ \ 任意の \ \ \epsilon > 0 \ \ に対して \ \ \alpha -\epsilon < x \ \ である \ \ x \in A \ \ が存在する。$
$(注)$
$\qquad $(i)$\ は\alpha が上界であることを示しています。$
$\qquad $(ii)$\ は\alpha より小さい数は上界でなないことを示しています。$
$例1 \qquad A=\{x |\ 0 \leqq x \leqq \sqrt{2}\}\ \ とすると \sup A=\sqrt{2},\quad \inf A=0$
$\hspace{3em}\ B=\{x |\ 0 < x < \sqrt{2}\}\ \ とすると \sup B=\sqrt{2},\quad \inf B=0$
$例2 \qquad A=\{\cfrac{1}{n} |\ nは自然数\}\ \ とすると \sup A=1,\quad \inf A=0$
(2) 実数の連続性の公理
$\qquad 実数の集合Aが、上に有界ならばAの上限が存在し、下に有界ならば下限が存在する。$
$(注)\ \ 実数の連続性の公理は他にもいくつかあります。$
$数列\{a_n\}が \quad a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n \leqq a_{n+1} \leqq \cdots \quad をみたすとき、単調増加数列という。$
$不等号の向きが逆なときは、単調減少数列という。$
$定理2 \quad (ワイエルストラスの定理)$
$\qquad 上に有界な単調増加数列はその上限に収束し、下に有界な単調減少数列はその下限に収束する。$
$(前半の証明)$
$数列\{a_n\}を上に有界な単調増加数列とし、A=\{a_n|n は自然数\}\ とおく。$
$Aは上に有界だから実数の連続性の公理より、上限 \ \alpha \ が存在して、\sup A=\alpha $
$定理1から \quad a_n \leqq \alpha $
$また \quad \epsilon を任意の正の数とすると \quad \alpha -\epsilon < a_N \leqq \alpha \quad をみたす \quad a_N \in A \ \ が存在する。$
$\{a_n\}は単調増加数列だから \quad \alpha -\epsilon < a_N \leqq a_{N+1} \leqq \cdots \leqq \alpha $
$よって \quad n \geqq N \quad ならば \quad \alpha -\epsilon < a_n \leqq \alpha \quad だから \quad |a_n-\alpha | < \epsilon$
$これは \quad a_n \rightarrow \alpha \quad (n \rightarrow \infty )\quad であることを示している。$
$後半の証明も全く同様です。$
$例$
$\quad a_1=2,\quad a_{n+1}=\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{2}{a_n}) \quad で定まる数列\{a_n\}の極限値$
$a_n > 0 \ \ であることは数学的帰納法で示されます。$
$右辺に相加・相乗平均の不等式を用いて$
$\qquad \cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{2}{a_n}) \geqq \cfrac{1}{2} \times 2 \sqrt{a_n \times \cfrac{2}{a_n}}=\sqrt{2}$
$よって a_{n+1} \geqq \sqrt{2} \quad すなわち \quad a_n \geqq \sqrt{2}$
$また$
$\quad a_n-a_{n+1}=a_n-\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{2}{a_n}) =\cfrac{1}{2}(a_n-\cfrac{2}{a_n})=\cfrac{a_n ^2-2}{2a_n} \geqq 0$
$\therefore a_{n+1} \leqq a_n \quad となって\{a_n\}は単調減少$
$したがって a_n \rightarrow \sqrt{2} \quad (n \rightarrow \infty)$
$(補充)$
$極限値 \ \sqrt{2}\ は \ \ f(x)=x^2-2 \ \ の根であり、この漸化式はニュートン法で求めた式です。$
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