曲 面
1 曲 面
$空間において、点 \ P(x,\ y,\ z)\ の各座標が \ 2\ 変数 \ u,\ v\ の連続な関数 \ x=x(u,\ v),\ y=y(u,\ v),\ z=z(u,\ v)\ で$
$与えられるとき点 \ P\ は曲面をえがきます。$
$これらの式から \ u,\ v\ を消去すると \ \ f(x,\ y,\ z)=0,\ \ あるいは \ \ z=z(x,\ y)\ とも表現できます。$
$例1$
$\quad x=a\sin u\cos v,\quad y=a\sin u\sin v ,\quad z=a\cos u \quad (a >0, \ \ 0 \leqq u \leqq \cfrac{\pi}{2},\ \ 0 \leqq v \leqq 2\pi) \quad で表される曲面は$
\begin{eqnarray*} & &x^2+y^2+z^2 \\ \\ &=&(a\sin u\cos v)^2+(a\sin u\sin v)^2+(a\cos u )^2\\ \\ &=&a^2 \sin ^2u (\cos ^2 v + \sin ^2v)^2 + a^2 \cos ^2 u \\ \\ &=&a^2 \sin ^2u + a^2 \cos ^2 u \\ \\ &=&a^2 \end{eqnarray*}
$よって この曲面は原点中心、半径 \ a\ の球面で、z \geqq 0 \quad だから上半分です。$
$なお、u,\ v\ は、点 \ P(x,\ y,\ z)\ とすると、OP=a\ \ で、線分 \ OP\ と \ z\ 軸の$
$なす角を \ u,\ \ 点 \ P\ を \ xy\ 平面に下ろした垂線を \ PQ\ とし、OQ\ と \ x\ 軸の$
$なす角を \ v\ としたものです。これを球面の極座標表示といいます。$
2 単位法線ベクトル
$曲面において、v=c \ \ (一定)\ \ とすると \ \ x=x(u,\ c),\ \ y=y(u,\ c),\ \ z=z(u,\ c)\ は$
$u\ だけの関数だから空間では \ 1\ つの曲線を表します。これを \ u\ 曲線といいます。$
$同様に、u=c\ \ (一定)\ \ とした \ \ x=x(c,\ v),\ \ y=y(c,\ v),\ \ z=z(c,\ v)\ を \ v\ 曲線$
$といいます。$
$\vec{OP}= \boldsymbol{r}\ \ とおくと、u\ 曲線、v\ 曲線の接線ベクトルはそれぞれ \ \ \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u}, \ \ \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\ \ です。$
$この \ 2\ つの接線ベクトルがつくる平面を点 \ P\ における接平面といいます。$
$\cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v} \ \ は接平面に垂直なベクトルとなるからこの平面の法線ベクトルです。$
$単位法線ベクトル \ \ \boldsymbol{n}\ \ は \quad \boldsymbol{n}=\cfrac{1}{|\cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}|} \big(\cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\big)$
$例2$
$\quad 曲面 \ \ \boldsymbol{r}=(av\cos u,\ av\sin u,v)\ \ (\ a>0,\ \ 0 \leqq u \leqq 2\pi,\ \ v >0\ )$
$\quad の単位法線ベクトルは$
$\quad x^2+y^2=(av\cos u)^2+(av\sin u)^2=a^2v^2=a^2z^2 \quad より$
$\quad z^2=\cfrac{1}{a^2}(x^2+y^2)$
$\quad この曲面は、原点を頂点とした右図のような円錐面を表します。$
$\quad z\ 軸上の点 \ A(0,\ 0,\ v)\ を中心に \ z\ 軸に垂直な平面上で、半径 \ av\ の円が底面になります。$
$\quad この円周上の点 \ P\ から \ xy\ 平面に垂線を下ろし、点 \ Q\ とすると \quad OQ=av$
$\quad x\ 軸の正方向と \ OQ\ のなす角を \ u\ とすると \quad x=av\cos u,\quad y=av\sin u$
$\qquad \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u}=(-av\sin u,\ av\cos u,\ 0) \qquad \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}=(a\cos u,\ a\sin u,\ 1)$
\[
\cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}=
\left|
\begin{array}{ccccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\
-av\sin u & av\cos u & 0 \\
a\cos u & a\sin u & 1 \\
\end{array}
\right|
=(av\cos u,\ av\sin u,\ -a^2v)
\]
$\qquad \big|\cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\big|=\sqrt{(av\cos u)^2+(av\sin u)^2+(-a^2v)^2}=av\sqrt{1+a^2}$
$よって、単位法線ベクトルは$
$\quad \boldsymbol{n}=\cfrac{1}{|\cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}|} \big(\cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\big)
= \cfrac{1}{av\sqrt{1+a^2}}(av\cos u,\ av\sin u,\ -a^2v)=\cfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}(\cos u,\ \sin u,\ -a)$
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