置換群
5 置換群
$3文字a,b,cの置換は全部で3!=6通りあり、それらは正三角形の対称変換に現れた置換です。$
$\quad (正三角形の対称変換は($平面図形の対称変換$)を参照してください。)$
$あらためて文字 \ A,\ B,\ C\ を \ a,\ b,\ c\ とすると$
\[ e= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ a & b & c\\ \end{array} \right) \qquad \omega= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ b & c & a\\ \end{array} \right) \qquad \omega ^2= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ c & a & b\\ \end{array} \right)\\ \] \[ p= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ a & c & b\\ \end{array} \right) \qquad q= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ c & b & a\\ \end{array} \right) \qquad r= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ b & a & c\\ \end{array} \right) \]
$演算表は$
\[ \begin{array}{c|c c } \ \times \ &\ e\ &\ \omega\ &\ \omega ^2\ &\ p\ &\ q\ &\ r\\ \hline \ e\ &\ e\ &\ \omega\ &\ \omega ^2\ &\ p\ &\ q\ &\ r\\ \ \omega \ &\ \omega \ &\ \omega ^2\ &\ e\ &\ q\ &\ r\ &\ p\\ \ \omega ^2 \ &\ \omega ^2 \ &\ e \ &\ \omega \ &\ r\ &\ p\ &\ q\\ \ p \ &\ p \ &\ r \ &\ q \ &\ e\ &\ \omega ^2\ &\ \omega \\ \ q \ &\ q \ &\ p \ &\ r \ &\ \omega \ &\ e\ &\ \omega ^2 \\ \ r \ &\ r \ &\ q \ &\ p \ &\ \omega ^2\ &\ \omega \ &\ e \\ \end{array} \]
$この表から、置換全体の集合 \ G=\{e, \omega ,\ \omega ^2,\ p,\ q,\ r\}\ \ が積について群となることを考えましょう。$
$(1) \ \ 閉包性$
$\qquad 2つの置換の積がある置換になることから、積について閉じていることがわかります。$
$(2) \ \ 単位置換$
$\quad 置換 \ e\ は \ a,\ b,\ c\ を \ a,\ b,\ c\ に置き換える(実際は置き換えない)1つの置換です。$
$\quad これを単位置換といいます。$
$\quad 上の表の任意の置換 \ \gamma \ に対して \quad e\gamma=\gamma e=\gamma \quad が成りたちます。$
$(3) \ \ 結合律$
$\quad 例えば \quad (\omega p)r=q\ r=\omega ^2,\qquad \omega (pr)=\omega \ \omega =\omega ^2$
$\quad となって、結合律 \quad (pq)r=p(qr) \quad が成りたつことがわかります。$
$一般の置換では$
\[ p= \quad \left( \begin{array}{rrr} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_{i_1} & a_{i_2} & \cdots & a_{i_n} \\ \end{array} \right) ,\quad q= \quad \left( \begin{array}{rrr} a_{i_1} & a_{i_2} & \cdots & a_{i_n} \\ a_{j_1} & a_{j_2} & \cdots & a_{j_n} \\ \end{array} \right) ,\quad r= \left( \begin{array}{rrr} a_{j_1} & a_{j_2} & \cdots & a_{j_n} \\ a_{k_1} & a_{k_2} & \cdots & a_{k_n} \\ \end{array} \right) \quad とすると \]
\[ pq= \quad \left( \begin{array}{rrr} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_{j_1} & a_{j_2} & \cdots & a_{j_n} \\ \end{array} \right) ,\quad qr= \left( \begin{array}{rrr} a_{i_1} & a_{i_2} & \cdots & a_{i_n} \\ a_{k_1} & a_{k_2} & \cdots & a_{k_n} \\ \end{array} \right) \quad だから \]
\[ (pq)r= \quad \left( \begin{array}{rrr} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_{k_1} & a_{k_2} & \cdots & a_{k_n} \\ \end{array} \right) ,\quad p(qr)= \left( \begin{array}{rrr} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_{k_1} & a_{k_2} & \cdots & a_{k_n} \\ \end{array} \right) \quad となって \]
$\qquad 結合律 \quad (pq)r=p(qr) \quad が成りたつことが示せました。$
$(4) \ \ 逆置換$
\[ 置換 \ \ \omega = \quad \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ b & c & a\\ \end{array} \right) \quad は a \rightarrow b,\quad b \rightarrow c,\quad c \rightarrow a \quad に置き換える働きがあるが \] \[ これを逆向きにした a \leftarrow b,\quad b \leftarrow c,\quad c \leftarrow a \quad すなわち \quad \left( \begin{array}{rr} b & c & a\\ a & b & c\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ c & a & b\\ \end{array} \right) \quad を \] \[ \omega = \quad \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ b & c & a\\ \end{array} \right) \quad の逆置換といい、\omega ^{-1}と表す。\quad すなわち \omega ^{-1}= \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ c & a & b\\ \end{array} \right) =\omega ^2 \]
$あるいは、演算表から \omega \times \omega ^2=\omega ^2 \times \omega =e \ \ だから \ \ \omega ^{-1}=\omega ^2$
$このように、それぞれの置換には必ず、逆置換が1つづつあります。$
$一般に$
\[ p= \quad \left( \begin{array}{rrr} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_{i_1} & a_{i_2} & \cdots & a_{i_n} \\ \end{array} \right) \quad の逆置換は \quad p^{-1}= \quad \left( \begin{array}{rrr} a_{i_1} & a_{i_2} & \cdots & a_{i_n} \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ \end{array} \right) \quad です。 \]
$(1)～(4)により、置換は群となることがわかりましたが、これを置換群といいます。$
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