信州大学(数学科) 2023年　問題1


$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 関数 \ \ f(x)=\cfrac{\log x}{x}\ \ (x > 0)\ \ の増減と \ y=f(x)\ のグラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。$
\[ \quad ただし、\lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log x}{x} =0 \ \ は用いてよい。\] $(2)\ \ 次を満たす自然数の組 \ (m,\ n)\ をすべて求めよ。\qquad m^n=n^m \ \ かつ \ \ m < n $


(1)


$f(x)=\cfrac{\log x}{x} \quad より \qquad f'(x)=\cfrac{1-\log x}{x^2}$

$f''(x)=\cfrac{-x-(1-\log x)\cdot 2x}{x^4}=\cfrac{-3+2\log x}{x^3}$

$f'(x)=0 \quad より \quad x=e$

$f''(x)=0 \quad より \quad \log x=\cfrac{3}{2} \qquad \therefore \ \ x=e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}$

$増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & e & \cdots & e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}\\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & - & - \\ \hline f''(x) & & - & - & - & 0 & + \\ \hline f(x)& & \nearrow & 極大 & \searrow & 変曲点 & \searrow \\ & & 上に凸 & & 上に凸 & & 下に凸 \\ \end{array} \]

　


$x=e \ でf(x)\ は極大となり、極大値は \ \ f(e)=\cfrac{1}{e}$

$x=e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} \ で \ f(x)\ は変曲点となり、f(e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}})=\cfrac{\log e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}}{e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}}=\cfrac{3}{2}e^{-\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}$

$x \longrightarrow +0 \ \ のとき \ \ f(x) \longrightarrow -\infty \ \ だから \ \ y\ 軸は漸近線$

$x \longrightarrow \infty \ \ のとき \ \ f(x) \longrightarrow 0 \ \ だから\ \ x\ 軸は漸近線 $

$以上のことからグラフの概形は右図のとおり$


(2)

　

$m^n=n^m \ \ の両辺の自然対数をとって $

$n\log m=m\log n$

$\cfrac{\log m}{m}=\cfrac{\log n}{n}$

$(1)のグラフ \ \ f(x)=\cfrac{\log x}{x} \ \ で \ \ f(m)=f(n) \ \ となる自然数$

$\ m,\ \ n \ \ (m < n )\ を見つければよい。$

$そのために、このグラフで \ x\ 軸に平行な直線との交点が \ 2\ つあり、x\ 座標が自然数となる点を見つける。$

$x=e \ で極大であることから \quad 1 < m < e \quad より \quad m=2$

$このとき \quad \cfrac{\log n}{n}=\cfrac{\log 2}{2}$

$2\log n=n\log 2$

$\log n^2=\log 2^n$

$n^2=2^n$

$これを満たす \ \ n > e \ \ の \ n\ は \quad n=4$

$よって求める自然数の組は \quad (m,\ n)=(2,\ 4)\ \ のみ$


\[ なお、問題文の \quad \lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log x}{x} =0 \] $については($不定形の極限値$)を参考にしてください。$


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