信州大学(数学) 2022年　問題5


$区間 \ [1,\ \infty]\ で定義された次の関数 \ f(x)\ と \ g(x)\ を考える。$
\[\qquad g(x)=\int _1^x e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy ,\qquad f(x)=g(x)+\int _1^x y^{-2}e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy\] \[(1)\ \ 極限 \ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) \ \ を求めよ。\] $(2)\ \ 区間 \ [1,\ \infty)\ で \ f(x) \leqq 2g(x)\ となることを示せ。$
\[(3)\ \ 次の不等式を示せ。\quad \cfrac{1}{2}e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \leqq \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) \leqq e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \quad ただし、極限値 \ \ \lim_{x \rightarrow \infty} g(x)\ \ は存在するとしてよい。\]


$(解説)$

$(1)\ \ f(x)\ の定積分を部分積分します。$
$(2)\ \ 2g(x)-f(x) \ \ を定積分で表します。$
$(3)\ \ g(x) \leqq f(x) \ \ を示し、(2)と合わせて、(1)をつかいます。$
\[\quad なお、\lim_{x \rightarrow \infty} g(x)\ \ は存在するとしてよいとありますが、\int _0^{\infty} e^{-x^2}dx =\cfrac{\sqrt{\pi}}{2} については\] $\hspace{3em}$ガウス積分を求める方法$を参考にしてください。$


(1)


\begin{eqnarray*} f(x) &=&g(x)+\int _1^x y^{-2}e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy\\ \\ &=&g(x)+\big[-y^{-1}e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}\big]_1^x - \int _1^x (-y^{-1})(-y)e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy\\ \\ &=&g(x) - x^{-1}e^{-\scriptsize{\cfrac{x^2}{2}}}+ e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} - \int _1^x e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy\\ \\ &=&g(x) - x^{-1}e^{-\scriptsize{\cfrac{x^2}{2}}}+ e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} - g(x)\\ \\ &=&- x^{-1}e^{-\scriptsize{\cfrac{x^2}{2}}}+ e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \\ \end{eqnarray*}
\[x \longrightarrow \infty \quad のとき \quad x^{-1}e^{-\scriptsize{\cfrac{x^2}{2}}} \longrightarrow 0 \quad だから \quad \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}\]

(2)


\begin{eqnarray*} & &2g(x)-f(x)\\ &=&2g(x)- \Big(g(x)+\int _1^x y^{-2}e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy\Big)\\ \\ &=&g(x)- \int _1^x y^{-2}e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy \\ \\ &=&\int _1^x e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy - \int _1^x y^{-2}e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy \\ \\ &=&\int _1^x (1-y^{-2} )e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy \\ \end{eqnarray*} $ここで、1 \leqq y \leqq x \quad だから \quad \cfrac{1}{x^2} \leqq \cfrac{1}{y^2} \leqq 1 \qquad -1 \leqq -\cfrac{1}{y^2} \leqq -\cfrac{1}{x^2}$

$\therefore \ \ 0 \leqq 1-\cfrac{1}{y^2} \leqq 1-\cfrac{1}{x^2} \qquad したがって \quad (1-y^{-2} )e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}} \geqq 0 \quad だから$ \[\quad \int _1^x (1-y^{-2} )e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy \geqq 0\] $ゆえに \quad f(x) \leqq 2g(x) \quad ただし等号は \ x=1\ 　のとき$


(3)


\[f(x)-g(x)=\int _1^x y^{-2}e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy \quad において\] \[\quad y^{-2}e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}} > 0 \quad だから \quad f(x)-g(x)=\int _1^x y^{-2}e^{-\scriptsize{\cfrac{y^2}{2}}}dy \geqq 0 \quad よって \quad f(x) \geqq g(x)\]
$(2)とあわせて \qquad \cfrac{1}{2}f(x) \leqq g(x) \leqq f(x)$

$(1) より \quad x \rightarrow \infty \quad のとき \quad f(x) \longrightarrow e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \quad だから$

\[\qquad \cfrac{1}{2}e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \leqq \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) \leqq e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \]

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