剰余環


1　 環


$集合Rに加法と乗法が定義されていて$

$\quad $(i)$\ 加法について、Rは可換群をなす$
$\quad $(ii)$\ 乗法について、結合律が成り立つ$
$\quad $(iii)$分配法則が成りたつ$

$このような集合Rを「環」といいます。$

$例1 \ \ 整数全体の集合Zは環で、整数環といいます。$

$例2 \ \ 実数係数のn次行列全体の集合は環となり、n次の全行列環といいます。$

$例3 \ \ 実数係数のxの多項式(整式)全体の集合 \ R[x] \ は環となり、R(実数)上の多項式環といいます。$


2　 イデアル


$環Rの部分集合 \ I \ が$

$\quad $(i)$\ \ a, b \in I \ \longrightarrow \ \ b-a \in I$

$\quad $(ii)$\ \ a \in I,\quad x \in R \longrightarrow \ \ xa \in I ,\quad ax \in I$

$のとき、I \ はRの(両側)イデアル　といいます。$

$例1　整数環 \ Z\ の部分集合 \ (m)=\{mの倍数全体\} \ はイデアルです。$


$イデアルの定義から次の性質が導かれます$

(i)$\ ある \ I \ の元cに対して \quad c-c=0 \in I$

(ii)$\ 任意の \ I \ の元aに対して \quad 0-a=-a \in I$

(iii)$\ 任意の \ I \ の元a,bに対して \quad a-(-b)=a+b \in I$


3　 商集合


$整数nを3で割った余りでグループ分け(類別)すると$

$\qquad 余り0のグループ　R_0=\{\cdots ,-6,\ -3,\ 0,\ 3,\ 6,\cdots \}$
$\qquad 余り1のグループ　R_1=\{\cdots ,-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ 7,\cdots \}$
$\qquad 余り2のグループ　R_2=\{\cdots ,-4,\ -1,\ 2,\ 5,\ 8,\cdots \}$

$それぞれを剰余類といい、集合\{R_0,R_1,R_2\}を商集合といって、Z/(3)\ とあらわします。$

$この商集合 \ Z/(3) \ にごく自然に演算を入れることができます。$
$A_0の任意の元どおしの和と積は、またA_0の元となるので$

$\quad A_0+A_0=A_0,\quad A_0 \times A_0=A_0$

$とかきます。$
$同様にして3つの元の和と積の結果をまとめると下表のようになります。$
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \ +\ & \ R_0\ &\ R_1\ &\ R_2\ \\ \hline R_0& R_0 & R_1& R_2\\ \hline R_1& R_1 & R_2& R_0\\ \hline R_2& R_2 & R_0& R_1\\ \hline \end{array} \hspace{3em} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \ +\ & \ R_0\ &\ R_1\ &\ R_2\ \\ \hline R_0& R_0 & R_0& R_0\\ \hline R_1& R_0 & R_1& R_2\\ \hline R_2& R_0 & R_2& R_1\\ \hline \end{array} \]

4　 剰余環


$Rを環とし、IをRの(両側)イデアルとする。$

$x,x' \in R \ \ に対し、x'-x \in I \ \ ならば　x \sim x' \ \ とかくことにすると、関係 \ \sim \ は同値関係となるので$
$\hspace{2em}(同値関係については$同値関係$を参照してください。)$

$Rはこの同値関係 \ \sim \ によってグループ分け(類別)することができます。$

$Rの元xを含む同値類のグループ名を \ C_x \ とします。$

$\quad x \sim x' \ \ ,\ \ y \sim y' \ \ のとき、x' \in C_x,\ \ y' \in C_y \ \ とすると$

(i)$加法$

$\quad (x'+ y')-(x + y)=(x'-x) + (y'-y) \in I \ \ より　x + y \sim x' + y' \ \ だから　x'+y' \in C_{x+y}$

$よって \qquad C_x+C_y=C_{x+y} $

$つまり、x \ を含む同値類 \ C_x \ と \ y \ を含む同値類 \ C_y \ の元の和は、x +y \ を含む同値類 \ C_{x+y} \ の元となります。$

(ii)$乗法$

$\quad x'y'-xy=(x'-x)y'+x(y'-y) \in I \ \ より　xy \sim x'y' \ \ だから　x'y' \in C_{xy}$

$よって \qquad C_x \cdot C_y=C_{xy} $

$つまり、x \ を含む同値類 \ C_x \ と \ y \ を含む同値類 \ C_y \ の元の積は、xy \ を含む同値類 \ C_{xy} \ の元となります。$

$これらのことから、Rの \ I \ による商集合 \ R/I \ は$

$\quad $(i)$\ 加法について、Rは可換群をなす\ \ (零元 \ C_0 \ は \ I \ そのもです)$
$\quad $(ii)$\ 乗法について、結合律が成り立つ$
$\quad $(iii)$分配法則が成りたつ$

$がいえて、\ R/I \ は環となります。これをRの \ I \ による剰余環といいます。$


5　 複素数体と同型な剰余環


$R上の多項式環 \ R[x] \ において、x^2+1 で生成されるイデアルを \ I=(x^2+1) \ とする。$

$R[x] \ の任意の元 \ f(x) \ は$

$\qquad f(x)=g(x)(x^2+1)+(a+bx) \ \ とおける\quad (除法の原理)$

$\qquad g(x) \in R[x] \ \ だから \ \ f(x)=(a+bx)+I \ \ となり、剰余環 \ R[x]/I \ の元(剰余類)は$

$\hspace{5em} (a+bx)+I \ \ (a,b \in R)\ \ となります。$

$ここで、R[x]/I\ のa+bx \ を含む剰余類の代表元をやはり\ a+bx \ と表すと$

(i)$\ 相等 \quad a+bx =a'+b'x \ \ \longleftrightarrow \ \ a=a',\quad b=b'$

(ii)$\ 加法・減法 \quad (a+bx) \pm (c+dx)=(a \pm c)+(b \pm d)x $

(ii)$\ 乗法 \quad x^2+1 \in I \ \ より　x^2 =-1+(x^2+1)=(-1)+I \ \ だから$

$\hspace{5em}(a+bx)(c+dx)=ac+(ad+bc)x+bdx^2=(ac-bd)+(ad+bc)x+I$

(iii)$\ 除法 \quad (a+bx)(a-bx)=a^2-b^2x^2=a^2-b^2(-1+x^2+1)=a^2+b^2+I\ \ だから$

$\hspace{5em}(a+bx)\bigl(\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}x\bigr)=1$

$\hspace{5em}よって、a+bx \ の逆元は \ \ \cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}x$


$この a+bx \ に \ a+bi \in C \ (複素数体)を対応させると、R[x]/I \ はCと同じ構造をしていることがわかります。$

$つまり \qquad R[x]/(x^2+1) \simeq C\ \quad (同型対応)$



　

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