同値関係
1 同値関係
$例1 \ \ 図形の合同$
$平行移動、対称移動、回転移動してぴったり重ね合わすことができる2つの図形を合同といいます。$ $合同な2つの図形は、対応する線分の$長さや角は等しい。
$とくに三角形の合同について次の関係式が成りたちます。$
(i)$\ \ \triangle ABC \equiv \triangle ABC$
(ii)$\ \ \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C' \ \ ならば \ \ \triangle A'B'C' \equiv \triangle ABC$
(iii)$\ \ \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C' \ \ かつ \ \ \triangle A'B'C' \equiv \triangle A''B''C'' \ \ ならば \ \ \triangle ABC \equiv \triangle A''B''C''$
$例2 \ \ 図形の相似$
$合同な2つの図形の一方を拡大・縮した2つの図形を相似といいます。$
$相似な2つの図形は$形が等しい。
$とくに三角形の相似について次の関係式が成りたちます。$
(i)$\ \ \triangle ABC$ ∽ $\triangle ABC$
(ii)$\ \ \triangle ABC$ ∽ $\triangle A'B'C' \ \ ならば \ \ \triangle A'B'C'$ ∽ $\triangle ABC$
(iii)$\ \ \triangle ABC$ ∽ $\triangle A'B'C' \ \ かつ \ \ \triangle A'B'C'$ ∽ $\triangle A''B''C'' \ \ ならば \ \ \triangle ABC$ ∽ $\triangle A''B''C''$
$例1,例2でみたように、三角形の合同や相似はともに同じ性質をもっています。$
$そこで、このような性質をもって「等しい」ということを定義します。$
$集合Mにおける2項関係 \ \ a \sim b \ \ が$
$\quad (1)\ \ a \sim a \hspace{26em}(反射律)$
$\quad (2)\ \ a \sim b \ \ ならば \ \ b \sim a \hspace{20em} (対称律)$
$\quad (3)\ \ a \sim b \ \ かつ \ \ b \sim c \ \ ならば \ \ a \sim c \hspace{15em} (推移律)$
$の性質をもつとき、\sim \ \ をMにおける同値関係といい、\ a,\ b \ は互いに同値という。$
$例3 \quad 実数全体の集合Rにおける2項関係 \ \ \sim \ \ を \ ab >0 \ のとき \ \ a \sim b \ \ と定めると関係 \ \sim \ は同値関係である。$
$\quad (1)\ \ a\cdot a > 0 \ \ だから \ \ a \sim a $
$\quad (2)\ \ a \sim b \ \ ならば \ \ ab >0 \ \ 明らかに \ \ ba > 0 \ \ だから \ \ b \sim a $
$\quad (3)\ \ a \sim b \ \ かつ \ \ b \sim c \ \ ならば \ \ ab >0 ,\quad bc >0$
$\hspace{3em} よって \ \ (ab)(bc) > 0 \quad ab^2c > 0 \ \ より \ \ ac >0 \ \ となり \ \ a \sim c $
$\quad (1)(2)(3)より、関係 \ \ \sim \ \ は同値関係である。$
$例4 \quad 整数a,bを1より大きい整数mで割った余りが等しいとき、すなわち \ a-b \ が \ m \ で割り切れるとき、$
$\qquad a \sim b \ と定めると関係 \ \sim \ は同値関係である。$
$\qquad これをmを法とする合同関係といい、a \equiv b \quad (mod \ \ m) \ \ と表す。$
$\quad (1)\ \ a -a=0=m \cdot 0 \ \ だから \ \ a \sim a $
$\quad (2)\ \ a \sim b \ \ ならば \ \ a-b =mk \ (kは整数) \ \ とおける。このとき \ \ b-a=m(-k) \ \ だから \ \ b \sim a $
$\quad (3)\ \ a \sim b \ \ かつ \ \ b \sim c \ \ ならば \ \ a-b =mk ,\quad b-c =ml \ (k,lは整数)とおける。$
$\hspace{3em}このとき \ \ a-c=(a-b)+(b-c)=mk+ml=m(k+l) \quad k+l \ は整数だから \ \ a \sim c $
$\quad (1)(2)(3)より関係 \ \sim \ は同値関係である。$
2 同値類
$集合Aにおいて、同値関係 \sim が与えられたとき、1つの元aと同値な元xの集まり(集合)をC(a)と表し、$
$これをaの属する同値類という。$
$また、C(a)の任意の元(例えばa)をこの類の代表元という。$
$\quad a \sim b \ \ ならば \ \ b \in C(a) \ \ であるし、a \in C(b) \ \ といってもよい。$
$定理1 \quad a \sim b \ \ \longleftrightarrow \ \ C(a)=C(b)$
$\longrightarrow \ \ の証明$
(i)$\ \ \forall c \in C(a) \ \ とすると \ \ a \sim c$
$\quad a \sim b \ \ ならば 対称律から \ \ b \sim a \ \ だから \ \ b \sim c \ \ となり \ \ c \in C(b)$
$\quad したがって \ \ C(a) \subset C(b)$
(ii)$\ \ \forall c \in C(b) \ \ とすると \ \ b \sim c$
$\quad a \sim b \ \ だから 推移律から \ \ a \sim c \ \ だから \ \ c \in C(a)$
$\quad したがって \ \ C(b) \subset C(a)$
(i)(ii)$より C(a)=C(b)$
$\longleftarrow \ \ の証明$
$C(a)=C(b) \ \ とすると \ \ b \sim b \ \ だから \ \ b \in C(b)$
$よって \ \ b \in C(a) \ \ \therefore \ \ a \sim b$
$定理2 \quad 異なる同値類は元を共有しない。$
$(証明)$
$式で表現すると C(a) \ne C(b) \ \ \longrightarrow \ \ b \notin C(a) $
$この対偶命題 \ \ b \in C(a) \ \ \longrightarrow \ \ C(a)=C(b) \ \ がいえればよい。$
$b \in C(a) \ \ ならば \ \ a \sim b$
$定理1から \quad a \sim b \ \ \longleftrightarrow \ \ C(a)=C(b)$
$よって、b \in C(a) \ \ ならば \ \ C(a)=C(b)$
$となって、対偶がいえる。$
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