確率の流れ


$時間を含むシュレディンガー方程式は$

$\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi +V\psi =i\hbar \cfrac{\partial}{\partial t}\psi \hspace{24em}(1)$

$複素共役をとって$

$\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi ^*+V\psi ^* =-i\hbar \cfrac{\partial}{\partial t}\psi ^* \hspace{22em}(2)$

$(1) \times \psi ^* - (2) \times \psi \ \ をとって$

$\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m} (\psi ^* \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi -\psi \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi ^*) =i \hbar (\psi ^* \cfrac{\partial}{\partial t}\psi +\psi \cfrac{\partial}{\partial t}\psi ^*) \hspace{14em}(3)$
\begin{eqnarray*} 左辺 &=&-\cfrac{\hbar ^2}{2m} (\cfrac{\partial \psi ^*}{\partial x} \cfrac{\partial \psi}{\partial x}+ \psi ^* \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi -\cfrac{\partial \psi ^*}{\partial x} \cfrac{\partial \psi}{\partial x} -\psi \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi ^*)\\ &=&-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{\partial }{\partial x}(\psi ^* \cfrac{\partial }{\partial x}\psi -\psi \cfrac{\partial }{\partial x} \psi ^*)\\ \end{eqnarray*}
$\hspace{2em} 右辺=i \hbar \cfrac{\partial}{\partial t}(\psi ^* \psi)=i \hbar \cfrac{\partial}{\partial t}|\psi|^2$

$よって、(3)は$

$\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{\partial }{\partial x}(\psi ^* \cfrac{\partial }{\partial x}\psi -\psi \cfrac{\partial }{\partial x} \psi ^*)=i \hbar \cfrac{\partial}{\partial t}|\psi|^2$


$\qquad \cfrac{\hbar }{2mi} \cfrac{\partial }{\partial x}(\psi ^* \cfrac{\partial }{\partial x}\psi -\psi \cfrac{\partial }{\partial x} \psi ^*)+ \cfrac{\partial}{\partial t}|\psi|^2=0 \hspace{18em}(4)$

$\qquad S=\cfrac{\hbar}{2mi} (\psi ^* \cfrac{\partial }{\partial x}\psi-\psi \cfrac{\partial }{\partial x} \psi ^*),\quad P=|\psi|^2 \ \ とおくと$

$(4)は$

$\qquad \cfrac{\partial }{\partial x}S+ \cfrac{\partial }{\partial t} P=0 \hspace{28em}(5)$

$となり、流体の連続方程式$ (流体の連続方程式参照)$と同じ形になる。$

$流体では、Pは単位長さ当たりの質量を、Sは単位時間当たりに蓄えられる質量をあらわした。$
$このとき、流体の質量は保存されることから$

$\qquad \cfrac{\partial }{\partial x}S+ \cfrac{\partial }{\partial t} P=0 $

$を導いた。$

$量子論では、同様の式がシュレディンガー方程式より導かれたが、Pは量子の存在する確率密度を表すので、$
$Sは、単位時間当たりに蓄えられる確率ということになり、質量保存に代わって確率の保存ということになる。$


$V=0でのシュレディンガー方程式　\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi =E\psi $

$\qquad \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi =-\cfrac{2mE}{\hbar ^2}\psi の解は$

$\alpha =\sqrt{\cfrac{2mE}{\hbar ^2}} とおくと$

$\psi=Ae^{i\alpha x}+Be^{-i\alpha x}$

$であるが、このうち、x軸正方向の波を入射波とすると$

$\psi=Ae^{i\alpha x} \ \ で \ \ \psi ^*=\overline{A}e^{-i\alpha x} \ \ だから$
\begin{eqnarray*} S &=&\cfrac{\hbar}{2mi}(\overline{A}e^{-i\alpha x}\times Ai\alpha e^{i\alpha x}-Ae^{i\alpha x}(-\overline{A}i\alpha e^{-i\alpha x})\\ &=&\cfrac{\hbar}{2mi}(i\alpha |A|^2+i \alpha |A|^2)\\ &=&\cfrac{\hbar}{m} \alpha |A|^2\\ \end{eqnarray*}
$なお$
$\psi=Ae^{i\alpha x} \ \ は波数\alpha の波動で、運動量\hbar \alpha をもつので、\cfrac{\hbar \alpha}{m} は速度であり、単位時間当たり、$
$\cfrac{\hbar \alpha}{m} 進むので、Sは確率の単位時間あたりの流れを示しているわけである。$



　

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