平方剰余


$\hspace{7em}項目1-6は別ファイルを読み込みます$



(7)$\ \ $平方剰余群



$タイトルのような用語があるかどうか知りませんが、平方剰余がつくる群のことです。$

　

$例 \quad p=11の剰余系において平方剰余は$

$\qquad 1^2=1, \ \ 2^2=4,\ \ 3^2=9,\ \ 4^2 \equiv 5,\ \ 5^2 \equiv 3$

$これらを要素にもつ集合G=\{1,3,4,5,9\}の演算表は右の通りです。$

$演算で閉じていて、結合法則が成りたつのは明らかです。$
$単位元は\ \ 1$
$逆元は\ \ 1^{-1}=1,\ \ 3^{-1}=4,\ \ 4^{-1}=3,\ \ 5^{-1}=9,\ \ 9^{-1}=5$

$よって、集合Gは群であることがわかります。$

$このことは一般化できます。$

$\quad 定理 \hspace{2em} pは奇素数とし、法pにおいて 平方剰余のつくる集合Gは積を演算として群をなす。$

$(証明)$

$(1)\ \ 閉包性$

$\quad a,bが平方剰余ならば、x^2=a,\ \ y^2=bをみたすx,yがある。$
$\quad すると、(xy)^2=ab \ \ だから \ \ abも平方剰余となる。 $

$(2)\ \ 結合律$

$\quad 法pにおける乗法であるから、結合律は当然成りたつ。$

$(3)\ \ 単位元$

$\quad 1^1=1\ \ より \ \ １はpによらず平方剰余だから、1 \in G \ \ この1が単位元である。$

$(4)\ \ 逆元$

$\quad aが平方剰余ならば、(1)より　a^2,\ a^3,\ \cdots , \ a^{p-2}\ \ も平方剰余であるから、a^{p-2} \in G$
$\quad このとき、フェルマーの定理より　a \times a^{p-2}=a^{p-1} \equiv 1 $
$\quad したがって　aの逆元a^{p-2}が存在する。$

$(1)～(4)よりGは群となるが、明らかに可換群です。$


$例1において$

$\quad 3^1=3,\ 3^2=9,\ 3^3=27\equiv 5,\ 3^4 \equiv 15 \equiv 4,\ 3^5 \equiv 12 \equiv 1$

$したがって　G=\{3,\ 3^2,\ 3^3,\ 3^4,\ 3^5\} \ \ と表され、3を生成元とする巡回群であることがわかります。$

$Gの位数は5(素数)ですから、3^2=9,\ 3^3\equiv 5,\ 3^4 \equiv 4\ \ もすべて生成元となります。$

$実際に計算してみると$

$\quad 4^1=4, \ \ 4^2 \equiv 5,\ \ 4^3 \equiv 9,\ \ 4^4 \equiv 3, \ \ 4^5 \equiv 1$

$\quad 5^1=5, \ \ 5^2 \equiv 3,\ \ 5^3 \equiv 4,\ \ 5^4 \equiv 9, \ \ 5^5 \equiv 1$

$\quad 9^1=9, \ \ 9^2 \equiv 4,\ \ 9^3 \equiv 3,\ \ 9^4 \equiv 5, \ \ 9^5 \equiv 1$



　

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